函数的单调性

函数的单调性

1. 概念：设函数的定义域为I

（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么称函数在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，则称在这个区间上是减函数。

（3）单调区间：如果函数在某个区间是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做的单调区间。

注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是或

② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如在与上是减函数，不能说在上是减函数。

③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降

2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）

    （1）定义法

[例1] 证明函数在R上是增函数

证：设，则

而分子  分母

故   得证

补：讨论函数的单调性

解：设时，对任，，设

，而

即故在单增，同理在单减

当时，同理在（）单减，在（1，）单增

 

[例2] 讨论的单调性

解：设，则

（1）当时，，

（2）当时，，

故在上是减函数，在上是增函数

 

[例3] 试求函数（）的单调区间

分析：考虑到以下分类讨论

（1）当时

① 若，则，增

② 若，则，减

③ 若，则，减

④ 若，则，增

（2）当时

① 若，则增

② 若，则增

综上所述，时，在或上是减函数

在或上是增函数

时，在或上是增函数

函数
范围
定义域
值域
渐近线	及
奇偶性	奇函数
单调性	在及分别单调递增 在及上分别单调递减	在上递增，在上递增

另法，利用导数

（1）若则

（2）若，则下证

高考分式函数试题类型与解法研究

[例4] 讨论分式函数的单调性（）

以下只研究与两种情形对于与可利用对称性得到。

解：当时，由

利用导数可知在与上为单增函数

在与为单减函数

当时，由知

在与上为增函数，图象如下

 

[例5]（1997全国）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元

（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。

解：

（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为

，

（2）依题意都为正数，故有

当且仅当即时，上式中等号成立

① 若，则当时全程运输成本最小

② 若，函数在上是减函数

那么当且仅当时，全程运输成本最小

综上所述可知，为使全程运输成本最小，当时

行驶速度应为；当时，行驶速度应为

 

[例6] 在中，，现将分别以BC、AC、AB所在直线为轴，旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为。

（1）求（用，表示）

（2）若为定值，并令，将T表示为的函数，写出这函数的定义域，并求这函数的最大值

（3）当在内变化时，求的最大值。

解：（1）设的BC、AC、AB边上的高分别为，由，，得

，，

于是得

（2）令，则由得

代入（*）得

当为定值时，

即

又，于是

（当且仅当时，取等号）

又由，知，所以函数的定义域为

因为在上递增，所以当，即时，T取最大值，此时

（3）由于，是减函数，从而当时，取最大值为

注：分式函数变通形式，函数的单调性

将函数式变形为

令，则

由单调性，在即上单减

在即上单增

在即上单减

在即上单增

（2）复合函数的单调性

在复合函数中，设和都是单调函数

① 若为增函数，则的增减性与相同；

② 若为减函数，则的增减性与相反。

区间 单调性     函数	A	B	C	D
	+	+	－	－
	+	－	+	－
	+	－	－	+

利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤

（1）先确定复合函数的定义域

（2）在定义域内分别研究及的单调性（分拆）

（3）列表，得结论

 

[例7] 讨论函数的单调性

解：由知定义域

令，

以下先研究，的单调性

令，

			（0，1）	（1，）
	－	－	+	+
	－	－	－	－
	+	+	－	－

而在R上为减函数，故利用复合函数单调性结论知在及上是减函数，在（0，1）及（1，）上是增函数。

补：（95高考）已知在[0，1]是减函数，则的取值范围是（ B ）

A.（0，1）   B.（1，2）   C.（0，2）   D.

解：依题意，又故

（也可由，，（∵ ）从而）

 

[例8] 讨论的单调性

解：由定义域（）令，

而

当时是减函数，故

	（）
	－
	+
	－

故在其定义域（）上是减函数

 

[例9] 讨论的单调性

解：由定义域

令，，以下先考虑的单调性

由结合定义域知它在单减，在上单增

	－	+
	－	－
	+	－

故，在上是增函数

在上是减函数

 

[例10]（1989全国）已知，求的单调区间。

解：依题意定义域为R，令，

则

由知其在上单增，在上单减

而知，在单增，在单减

又由或；

所以单减区间和单增区间与（0，1）

			（0，1）	（1，）
	+	+	－	－
	+	－	－	+
	+	－	+	－

（3）利用单调性性质

结论1：两增函数的和在公共定义域上仍为增函数

[例11] 讨论函数的单调性

解：定义域

① 若，与均为减函数

故也是减函数

② 若时

由与都是增函数

且，是减函数

综上，在R上是减函数，此结论用到以下事实。

又如讨论的单调性

解：

利用反比例函数的单调性可知当时，在与上是减函数

当时，在与上是增函数

结论2：若函数在区间上是减函数，在区间上是减函数，则必是区间（）上的减函数。

证：任取且

若，则，若，

若，，则，

从而

综上，对且，总有得证

上例利用定义法

对于

  

结论3：设是单调函数，则其反函数也是单调函数，且与其反函数有相同的单调性。

证：不妨设是增函数，设，（用反证法）

如果，则因是增函数，故

即这与矛盾，故，因此单增

例子：对数函数与指数函数对底的不同情形具有相同的单调性。

（4）利用函数的图象

[例12] 讨论函数的单调性

解：即

利用图象

（5）利用导数

函数在区间上连续，在内可导，且在内

① 如果，那么函数在区间上单调增加

② 如果，那么函数在区间上单调减少

由此得到确定单调区间的方法

① 确定函数的定义域

② 求导数

③ 令解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为

④ 确定区间内导数符号

⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这区间内递减。

 

【模拟试题】

一、选择题。

  1. 函数的单调减区间为（    ）

    A.                            B.

    C.                            D.

2. 设（a，b）、（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），x₁＜x₂，则f（x₁）与f（x₂）的大小关系是（    ）

A.f（x₁）＜f（x₂）                                 B.f（x₁）＞f（x₂）

C.f（x₁）=f（x₂）                                    D.不能确定

  3. 下列函数中，在上为减函数的是（    ）

    A.                            B.

    C.                                    D.

4. 函数y=的单调递减区间是（    ）

A.［0，+∞］                              B.（－∞，0）

C.（－∞，0），（0，+∞）                 D.（－∞，0）∪（0，+∞）

  5. 设是上的减函数，则（    ）

    A.                             B.

    C.                       D.

6. 设函数f（x）=（2a－1）x+b是R上的减函数，则有（    ）

A.a≥                                            B.a≤

C.a>－                                          D.a<

7. 若函数是定义在R上的增函数；若时，则下列各式成立的是（    ）

    A.            B.

    C.            D.

  8. 如果是R上的减函数，在上是增函数，则函数的单调性是（    ）

    A. 在上是增函数，在上是减函数

    B. 在上是减函数，在上是增函数

    C. 在上是增函数

    D. 在上是减函数

  9. 已知，则与（    ）

    A. 函数值域相同，增减性不同                    B. 为相同的函数

    C. 函数值域不同，增减性相同                    D. 函数值域、增减性都不同

 

二、填空题。

10. 已知函数f（x）=4x²－mx+1在（－∞，－2）上递减，在［－2，+∞］上递增，则f（1）=__________.

  11. 二次函数的单调区间，当时，增区间是___________，减区间为___________。

12.  f(x)是定义在（0，+∞)上的递减函数，且f(x)<f(2x－3),则x的取值范围是__________.

  13. 函数的增区间是___________，减区间是___________。

  14. 一次函数是增函数的充要条件是___________。

  15. 已知函数是在区间上的减函数，则a的取值范围是___________。

三、解答题。

  16. 求证：函数在定义域内是减函数。

17. 求证：函数f（x）=x+（a>0）在区间（0，］上是减函数.

  18. 设是上的增函数，a和b是实数。

    （1）证明命题“如果，那么”；

    （2）判断（1）中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论。

 

【试题答案】

一、 

1. D        2. D        3. D        4.C               5. D        6.D      7. B       8. D 9. B

二、

10．21

  11.

12． (,3)

  13.

  14.

  15.

三、

  16. 因为的定义域为，任取且

   

    且

    又因为对任意，都有

   

    所以，即

    故函数在R上单调递减

 

17．证明:设0<x₁<x₂≤，则x₁－x₂<0,0<x₁x₂<a.

f（x₁）－f（x₂）=（x₁+）－（x₂+）=（x₁－x₂）+

=（x₁－x₂）·>0，即f（x₁）>f（x₂）.

因此函数f（x）=x+（a>0）在区间（0，］上是减函数.

说明:用上述方法还可以证明函数f（x）=x+（a>0）在［，+∞］上是增函数，在

（－∞，－）上也是增函数,在（－，0）上是减函数，并让学生记住证法和结论.

 

  18. （1）由

   

    同理，

    <1>＋<2>得：

    （2）逆命题正确。

    即若，则

假设，则（1）可证矛盾。