聚焦导数与函数单调性问题||高中

函数的单调性问题是各类考必考题型，常考的有三种题型，下面举例剖析，帮助大家归纳各题型的解法．

一、讨论函数的单调性

例1已知函数，讨论函数的单调区间．

解：易知的定义域为，，

当时，的单调增区间为，减区间为；

当时，不是单调函数；

当时，的单调增区间为，减区间为．

点评：讨论函数的单调性，首先需确定函数的定义域，然后求出导数，分析参数在导数中起的作用，然后根据参数的取值范围，讨论函数的单调性．

二、函数在区间上单调问题

例2（2016年全国卷Ⅰ）若函数在上单调递增，则的取值范围是（  ）

（A）  （B） （C）  （D）

解：由题意知对恒成立，

     故，即对

    恒成立，令，则对恒成立，

构造函数，开口向下的二次函数的最小值可能为端点值，

    故只需保证解之得，故选C．

点评：求解的关键是通过函数单调性将问题转化为不等式的恒成立问题，再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题．若函数在区间上单调递增（递减），则在上恒成立．

三、函数在区间上存在单调性问题

例3．已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（  ）

（A）  （B）  （C） （D）

解：由已知可得

，因为函数在区间上存在单调递增区间，

所以在区间上有解，

又，所以在区间上有解，

设，则或，

∴，或，

解之得或，故，即选D．

点评：本题与例3有着本质的不同：函数在区间上存在单调递增（递减）区间，则在上有解；求解依然运用转化法．

本文来自《数学周报》高考版理科第5期

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