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教研、解题、资源 Q群： 314559613 ,1078982440 为了更好地为广大读者朋友服务，请各位动动我们的金手指填写下本推文最下方的问卷调查，深表感谢！指对跨阶“同构法”求解不等式恒成立问题杨瑞强 (湖北省黄石市第一中学 435000) 摘 要：本文主要通过实际案例，研究了同构法在不等式恒成立中的应用. 关键词：同构法；导数；不等式；恒成立 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，可构造函数，利用函数的单调性进行处理，找这个函数模型的方法就是同构法.例如若F(x)≥0能等价变形为能等价变形为能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性(如递增)，再转化为g(x)≥h(x).在遇到“指数函数和对数函数”同时出现的试题时，我们可考虑采用“同构”的方法变形转化，构造函数，从而达到化难为易，删繁就简的功效. 一、积型aea≤blnb同构三种同构途径：①同左aea≤(lnb)elnb，构造函数f(x)=xex；②同右ealnea≤blnb，构造函数f(x)=xlnx；③取对数a+lna≤lnb+ln(lnb)，构造函数f(x)=x+lnx. 例1 若对任意的实数x≥1，不等式 恒成立，则正数k的取值范围是____. 解析 因为x≥1，k>0，所以 解法1 (构造同左aea≤(lnb)elnb形式)(kx)ekx≥xlnx⟺(kx)ekx≥(lnx)elnx. 令f(t)=tet,t≥0，f ′(t)=(t+1)et>0，即f(t)在[0,+∞)上单调递增，则 令 时g′(x)>0，x>e时g′(x)<0，所以g(x)在(1,e)上递增，在(e,+∞)上递减，x=e时 即 故正数k的取值范围是 解法2 (构造同右ealnea≤blnb形式)(kx)ekx≥xlnx⟺ekxlnekx≥xlnx. 令f(x)=tlnt,t≥1，f ′(t)=1+lnt>0，即f(x)在[1,+∞)上单调递增，则 下同解法1. 解法3 (取对数a+lna≤lnb+ln(lnb)形式)(kx)ekx≥xlnx⟺kx+ln(kx)≥lnx+ln(lnx). 令 即f(t)在(0,+∞)上单调递增，则 下同解法1. 评析 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对已知的指对式进行“改头换面”，常见的同构变形有：等.在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知. 二、商型或同构三种同构途径：①同左或构造函数或②同右或构造函数或③取对数a-lna≤lnb-ln(lnb)(或lna-a≤ln(lnb)-lnb)，构造函数f(x)=x-lnx(或f(x)=lnx-x). 例2 若对任意的实数0<x<1，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____. 解析 由已知可得a>0. 当a≥1时，不等式左边小于0，右边大于0，不等式显然成立. 当0<a<1时， 解法 设则在(-∞,1)单调递增.因为0<x<1，0<a<1，所以lnx<0，x+lna<0，于是原不等式等价于g(lnx)<g(x+lna)⟺lnx<x+lna⟺lna>lnx-x在(0,1)上恒成立. 令h(x)=lnx-x(0<x<1)，则所以h(x)在(0,1)单调递增，于是lna≥h(1)=-1，即 综上所述，实数a的取值范围是 解法 令则所以g(t)在(0,e)单调递增. 原不等式等价于在(0,1)上恒成立.下同解法1. 评析 本题利用或构造函数出函数或其基本策略与流程是：“不等式同解变形，左右形式相当；一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”.同时含有指数和对数形式的不等式恒成立问题，往往利用同构思想将不等式转化为左右两边结构相同的式子，再构造函数通过单调性等价转化. 三、和差型ea±a≤b±lnb同构两种同构途径：①同左ea±a≤elnb±lnb，构造函数f(x)=ex±x；②同右ea±lnea≤b±lnb，构造函数f(x)=x±lnx. 例3 已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范围. 解析 将f(x)≥1按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形： 由f(x)=aex-1-lnx+lna≥1，移项得aex-1+lna≥lnx+1，即elna+x-1+lna≥lnx+1，两边同时加(x-1)得elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x，即elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx. 设g(x)=x+ex，则g′(x)=1+ex>0，所以g(x)单调递增，所以lna+x-1≥lnx，即x-lnx+lna-1≥0. 设h(x)=x-lnx+lna-1，则所以h(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以h(x)min=h(1)=lna≥0，故a≥1. 评析 本题先把已知不等式变形为elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx，从而具备ea±a≥elnb±lnb的同构形式，构造函数g(x)=x+ex，然后利用导数法求解结果，而此处难点在于将原不等式同解变形成左右两边具有相同“结构”的不等式.对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，有时也需要对两边同时加、乘某式等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，再根据“相同结构”构造辅助函数. 练习 1.已知函数f(x)=aeax+1-lnx+1，且对任意x>1，f(x)>0恒成立，则a的取值范围是( ).
2.若关于x的不等式ex-alnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为____. 3.对于任意实数x>0，不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，求实数a的取值范围是____. 参考答案： 同构法构造函数是高中数学解题的一种常见方法，在解题实践过程中，若能通过观察、分析、整理等变形手段，看清题中函数结构的共性或等式(或不等式)两侧同构，则可轻松构造函数，巧妙利用函数单调性解题.指数和对数混合的导数题，直接使用同构的题目并不多，许多情况下，需要凑出同构的形式来，因为指数和对数之间可以互相转换，尽量转换为常见的 三种同构形式. 参考文献： [1]杨瑞强.“端点效应”破解不等式恒成立问题[J].中学数学教学,2019(06):33-35. 作者简介：杨瑞强(1979-)，男，湖北省黄冈人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
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