例析“指数对数互化”的同构变换规律*朱宝平 舒大展 (安徽省亳州市第一中学，236800) 若函数f(x)与g(x)满足g(x)=ln f(x)或g(x)=ef(x),则称f(x)和g(x)为指对互化式.例如x和ln x，x ln x和xex，x-2ln x和 等.鉴于求参数的取值范围在导数问题中为高频考点,对于其中含有指对互化式的函数,如果掌握了指对互化的运用规则就能事半功倍.本文通过一题多解多角度展示此类问题同构变换的规律，以期抛砖引玉. 试题 已知对任意 恒成立,求正实数λ的最小值. 解法1 和差型同构 由 得λeλx≥ln x,即eλx ln λ≥ln x,亦即eλx ln x (λx ln λ)≥ln x (λx ln λ)，亦即eλx ln λ (λx ln λ)≥eln(λx) ln(λx). 设f(t)=et t，则f(t)为增函数.由f(λx ln λ)≥f(ln(λx))，得λx ln λ≥ln(λx)，即 令 则 易知g(x)在(0,e)单调增,在(e, ∞)单调减,故 正实数λ的最小值为 评注 本解法从待证不等式的和差结构入手,在不等式两边同加上λx ln λ进行同构变换,进而可构造函数f(t)=et t求解.需 要说明的是,本解法在得到eλx ln λ (λx ln λ)≥ln x (λx ln λ)后,亦可变形为eλx ln λ ln eλx ln λ≥λx ln(λx),构造函数f(t)=ln t t,由f(t)单调增及f(eλx ln λ)≥f(λx)得eλx ln λ≥λx即 下同解法1. 解法2 乘积型同构 由 得λeλx≥ln x，即(λx)eλx≥xln x.当x∈(0,1]时,总有λxeλx>0,xln x<0,不等式显然成立;因此只需考虑x>1时,eλxln eλx≥xln x恒成立,求正实数λ的最小值. 设f(t)=tln t(t>1),则f ′(t)=1 ln t>0， f(t)在(1, ∞)单调增，由f(λx)≥f(ln x)，得λx≥ln x，即 下同解法1,可得λ的最小值为 评注 对(λx)eλx≥xln x,本解法是利用λx=ln eλx向右进行同构,构造函数f(t)=tln t,再由函数的单调性进行求解.很多同学忘记分类讨论,忽略了当x∈(0,1]情形的说明，是解题过程中的易错点.对于(λx)eλx≥xln x,亦可利用x=eln x向左进行同构变形,构造函数f(t)=tet(t>0),由f(t)在(0, ∞)单调增及f(eλx)≥f(x),得eλx≥x,即λ≥ .下同解法1. 解法3 取对数型同构 由得λeλx≥ln x，即(λx)eλx≥xln x.当x∈(0,1]时,总有λxeλx>0,xln x<0，不等式显然成立.只需考虑x>1的情形,即ln(λx) λx≥ln x ln(ln x). 设f(t)=t ln t(t>0)，易知f(t)在(0, ∞)单调增.由f(λx)≥f(ln x)，得λx≥ln x，即下同解法1. 评注 本解法是对(λx)eλx≥xln x利用ln(xy)=ln x ln y进行两边取对数同构,使乘积型不等式变为和差型不等式,构造函数f(t)=t ln t,利用其单调性求解.易错点是同解法2忽视分类讨论. 解法4 反函数型同构 注意到y=eλx与互为反函数,根据反函数的性质,题设条件等价于eλx≥x或于是 令则易知g(x)在(0,e)单调增,在单调减,故正实数λ的最小值为 评注 本解法利用反函数的定义和性质进行同构求解,其中不必构造函数,且省去了分类讨论的环节,不失为一种简约的解法. 根本保障在于对社会主义制度驰而不息的完善与改革。尽管现实的社会主义制度还存在需要进一步完善与改革的空间，在与资本主义“制度话语权”的斗争中还存在着某些问题，但是，只要坚持走下去，善于总结党的建设规律、党的执政规律、社会主义运动规律和人类社会发展规律，在坚持中国特色社会主义道路的前提下，不断改革束缚生产力发展的生产关系，破除阻力，这个制度将越来越完善。
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