巧构奇函数简解一类问题

巧构奇函数简解一类问题

湖北省阳新县高级中学　邹生书

函数性质在解决函数问题中举足轻重至关重要．函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，是解决函数问题的强有力工具．有些问题从表面上看似乎与函数无关，如果我们从题设所给出的式子的结构特征入手，站在函数的角度审视问题并抓住问题的本质，创造性地构造奇函数并运用奇函数性质来处理问题，往往可达到“柳暗花明又一村”的解题境界．本文着重介绍单调奇函数的几个重要性质及其在解题中的妙用，以飨读者．

 

一、奇函数的几个重要性质

 

性质1  已知函数是区间上的单调递增奇函数，若，

 

则；．

 

性质2  已知函数是区间上的单调递减奇函数，若，

 

则；．

 

性质3  已知函数是区间上的单调奇函数，若，

 

则．

 

性质4  如果奇函数有最大值，那么的最小值为，反之亦然．即如果奇函数有最值，则．

 

二、奇函数性质应用举例

 

例1  已知：三个实数满足，函数，则的值为（  ）

 

一定大于零    一定小于零   等于零    正负都有可能

 

解  因为是上单调递减的奇函数，又，根据性质2得，，三式相加可得，故选．

 

点评  本题直接运用单调奇函数的性质求解，解题过程简便快捷，性质运用真是恰到好．

 

例2  解不等式．

 

解  原不等式可化为，设，则不等式变为，因为单增奇函数，根据奇函数性质1得，即，解得，故所求不等式的解集为．

 

点评  此题若用常规方法将分式不等式转化为整式不等式求解，则要解一个一元6次不等式，一般很难将解法进行到底．本解法将此不等式变形，注意结构的相似性巧构奇函数并用奇函性质求解，致使问题得以轻松解决．

 

例3  已知，且满足和，求的值．

 

解  由题设得，，设，则，故，又由知，而在上是单增奇函数，由性质3得，，所以．

 

点评  显然我们不可能分别求出的值，根据已知两个等式在结构上的相似性构造函数，综合运用联系的观点、整体思想和奇函数的性质，最终使问题得以解决，其中奇函数性质的运用对问题的解决起决定作用．

 

例4  已知实数满足：，，求的值．

 

解  因为，所以有，

 

设，则，故有．

 

因在上是单增奇函数，由性质3得，即．

 

点评  本题难在不能直接运用奇函数性质解题，需要作适当的变形创造性地构造出奇函数．联系观点、整体思想和构造奇函数的目标意识是解决本题的方向标．

 

例5  已知实数满足，求的值．

 

解  因即，设，对两边取自然对数得．又因为，所以在上是奇函数，又，所以在上又是增函数，由，根据性质3可得．

 

点评  本题是31届西班牙数学奥林匹克第2题，本解法根据已知等式结构特点，巧妙运用单调奇函数的性质使问题奇迹般地解决，真是“天生一个仙人洞，无限风光在险峰”．

 

例6  设函数定义在上，求这个函数的最大值与最小值的和．

 

分析  此题最一般的方法是，利用导数分别求出最大值和最小值，然后求其和，问题是这个函数求导后，得到的三项中分别包含指数、对数和多项式，无法求出其零点，解题思路受阻限入困境．若用奇函数性质来审视该题则问题变得峰回路转旗开得胜．

 

解  设，则，且均为连续函，而连续函数在闭区间上必存在最大值和最小值．

 

，

 

由此知在上是奇函数，由性质4知，，所以．

 

例7 （2009年上海高考题改编）已知函数，项数为27的等差数列满足，且公差，若．问当是否存在这样的，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

 

解  因为在是单增奇函数，当时，由等差数列的性质知，，由性质2知

 

，所以有，故当时 ．下面用反证明这样的是唯一的．

 

假设，由性质1知

 

，从而，这与题设矛盾．同理若，则有，同样与题设矛盾．

 

综上可知，若，则当且仅当时．