【原】《必修一》中的数学思想

目录

第一讲  函数与方程思想（一）..................................................................................................................... - 1 -

题型一：函数观点看不等式...................................................................................................................... - 2 -

题型二：识别变量和参数.......................................................................................................................... - 3 -

题型三：多变量求最值.............................................................................................................................. - 4 -

题型四：函数性质比大小.......................................................................................................................... - 5 -

第二讲   函数与方程思想（二）..................................................................................................................... - 8 -

题型一：复合函数进阶.............................................................................................................................. - 8 -

题型二：根据对称求解析式...................................................................................................................... - 9 -

题型三：构造新函数或方程...................................................................................................................... - 9 -

第三讲  抽象函数问题..................................................................................................................................... - 12 -

题型一：抽象函数判断单调性............................................................................................................... - 12 -

题型二：抽象函数判断奇偶性............................................................................................................... - 13 -

题型三：抽象函数解不等式................................................................................................................... - 13 -

第四讲  图像——数形结合与极限思想........................................................................................................ - 15 -

题型一：奇函数对称拓展....................................................................................................................... - 15 -

题型二：零点（根）的分布问题........................................................................................................... - 15 -

题型三：零点个数问题........................................................................................................................... - 16 -

题型四：极限思想找图像....................................................................................................................... - 18 -

第五节——整体换元思想................................................................................................................................ - 20 -

第六节——分类讨论思想情形归纳................................................................................................................ - 23 -

题型一：集合型....................................................................................................................................... - 23 -

题型二：二次函数型............................................................................................................................... - 24 -

题型三：指对函数型............................................................................................................................... - 27 -

第七节——多变量求参数................................................................................................................................ - 28 -

题型一：单变量双函数........................................................................................................................... - 28 -

题型二：双变量双函数........................................................................................................................... - 28 -

第八节——分式应用........................................................................................................................................ - 31 -

题型一：分式求最值............................................................................................................................... - 31 -

题型二：怎么处理分式........................................................................................................................... - 32 -

第九节——绝对值............................................................................................................................................ - 34 -

题型一：翻折——去左变偶................................................................................................................... - 34 -

题型二：翻折——下翻上....................................................................................................................... - 35 -

题型三：分类讨论................................................................................................................................... - 36 -

第十讲  计算能力培养..................................................................................................................................... - 38 -

题型一：指对计算................................................................................................................................... - 38 -

题型二：因式分解................................................................................................................................... - 38 -

题型三：比较大小................................................................................................................................... - 39 -

题型四：计算........................................................................................................................................... - 39 -

题型五：解方程组................................................................................................................................... - 40 -

题型六：三角函数................................................................................................................................... - 40 -

第一讲   函数与方程思想（一）

题型一：函数观点看不等式

例1.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(　　)

A.                B.        C.                         D.

练1-1. （2018-2019合肥一中六中期中6）若关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是(    )

A.                B.                       C.                     D.

练1-2. 解下列不等式

；               .                  

题型二：识别变量和参数

例2.已知二次函数，若，，则实数的取值范围.

练2-1. （2018-2019合肥168期中15）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________。

练2-2.（2018-2019合肥一六八期中6）已知集合，对满足集合的所有实数，使不等式成立的的取值范围为（    ）

A.                B.             C.               D.

题型三：多变量求最值

例3.（2020合肥8中期中8）已知，且，则的最小值是（   ）

A．                          B．                          C．                D．

练3-1. 已知，求最大值和最小值.

练3-2. ，，求的最小值

练3-3. 函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是____________。

题型四：函数性质比大小

例4. 已知定义域为的函数在上单调递减，函数是偶函数，若，，，为自然对数的底数，则的大小关系是___________.

练4. 已知函数关于对称，且当时，，则（   ）

A．                          B．    

C．                          D．

家庭作业

1.已知，，，，

①为真命题，的取值范围；

②和至少有一个真命题，和至少有一个假命题，则的取值范围。

2.，求的最小值

3.已知函数，若，且，则的取值范围是____________.

第二讲   函数与方程思想（二）

题型一：复合函数进阶

例1-1. （2017-2018年合肥一中期末第19题 第2问）

函数．若函数的最小值为，求的值．

练1-1. 若函数的值域是，那么它的定义域是（　　）

A．                       B．                       C．                       D．

例1-2．已知函数，则函数的零点个数可能为___________个.

练1-2．已知函数，，则方程为正实数）的根的个数可能为____________个.

题型二：根据对称求解析式

例2. 设函数的图像关于直线对称，若当时，,则当时，

练2. 已知为上偶函数，当时，，则当时，求函数的解析式.

题型三：构造新函数或方程

例3-1. 定义在上的函数满足，若，则不等式的解集为___________.

练3-1.已知函数，在上满足 ，求参数的取值范围.

例3-2. 函数满足：①在定义域内为单调函数，②存在使得在上的值域为，求的取值范围.

练3-2. 已知函数，若函数的定义域、值域都为，且在上单调，求实数的取值范围。

家庭作业

1.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）

A．                   B．                     C．                     D．

2.已知函数，存在区间，使在区间上的值域为，则实数的取值范围为_____________。

3.已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________.

第三讲  抽象函数问题

题型一：抽象函数判断单调性

例1-1.，有，当时，，判断的单调性.

练1-1. ，有，当时，，判断的单调性.

例1-2. ，有，当时，，判断在的单调性.

练1-2. ，满足，当时，，判断的单调性

题型二：抽象函数判断奇偶性

例2.定义域为，有，证为奇函数.

练2. 为定义域在上不恒为0的函数，且，都有，判断的奇偶性.

题型三：抽象函数解不等式

例3-1. 定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时，，解不等式：．

练3-1. 定义域在上单调函数满足，且，则，都有，求实数的取值范围.

例3-2. 已知函数的定义域为,对定义域内任意的都有，当时，且,解不等式：

练3-2. （2020合肥八中期中22题）

已知定义在上的函数，满足，且当时，有，若，解不等式.

例3-3. 已知函数是定义在上的偶函数，且在，上单调递减，，则不等式的解集为（   ）

A．             B．             C．             D．

练3-3. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ）

A．，                  B．               C．，               D．

第四讲  图像——数形结合与极限思想

题型一：奇函数对称拓展

例1.已知函数，函数的最大值、最小值分别为，，则__________.

练1-1. 已知函数，，函数的最大值、最小值分别为，，则_________.

练1-2. （2020合肥五中期中15题）已知函数为定义在上的函数，且满足，若，求在上的最大值与最小值之和___________．

题型二：零点（根）的分布问题

例2. 若函数的一个零点在区间上，另一个零点在区间上，则实数的取值范围为________.

练2-1. 已知关于的二次方程，若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，的范围是_________.

练2-2. 已知函数，，

（1）若在区间有零点，求的取值范围；

（2）若关于的方程有两个大于1的不同的实根，求取值范围.

题型三：零点个数问题

例3-1. 函数的零点个数为___________.

练3-1.函数的零点个数为___________.

例3-2. 已知函数，若关于的函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______________.

练3-2. 已知函数，若方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是________.

例3-3. （2020合肥五中期中17题）

已知是定义域为的奇函数，当，时，．

（1）写出函数的解析式；

（2）若方程恰有3个不同的解，求的取值范围．

练3-3. （2019合肥168期末20）

已知函数，在一个周期内的图象如下图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围和这两个根的和.

题型四：极限思想找图像

例4-1. 函数的图象大致是（　　）

A．   B．   C．   D．

练4-1. 函数的部分图象大致为（　　）

A．B．     C．D．

练4-2. 函数的图象大致为（　　）

A．B．C．D．

练4-2. 函数的大致图象为（　　）

A．      B．C．   D．

第五节——整体换元思想

例1. （2017-2018合肥六中段一第5题）

已知函数，则______________.

练1. （2017-2018合肥七中段一第15题）

若函数满足，则的最小值为_______________

例2. 已知，，则函数的最大值为_____________.

练2. 已知函数，，设，若的图象恒在轴上方，求的范围．

例3. （2018-2019合肥九中段二第12题）

若，则函数的(   )

A．最小值为0，无最大值                      B．最小为0，最大值为6

C．最小值为，无最大值                  D．最小值为，最大值为6

练3. （2019-2020合肥168诺贝尔班期末10题）

已知函数，的值域为，则实数的取值范围是(    )

A.         B.        C.       D.

例4. （2019-2020合肥6中期末15）

若，，，，则___________.

练4. 已知，，且，求的值．

例5.设函数．

（1）若是偶函数，求的值；

（2）若存在，，使得成立，求实数的取值范围；

练5. （2019-2020合肥168诺贝尔班20题）

设函数是定义域为的奇函数.

（1）求的值；

（2）若，求使不等式恒成立的的取值范围；

（3）若，且在上的最小值为，求的值.

第六节——分类讨论思想情形归纳

分类讨论是因为参数的不确定性，我们需要把参数所有的可能性全部列举出来，并对每个可能性进行分析，其实就是把题目化整为零，各个击破，最后再整和结论。

情形1：不确定集合是否是空集要对集合分空集和非空集两种情况讨论；

情形2：一次函数的斜率正负不确定要分类讨论；

情形3：分段函数求值不确定在哪一段要分类讨论；

情形4：等式（方程，不等式）两边同时除以一个数时，不确定的大小，要分讨论；

情形5：不确定是不是一元二次方程，不等式，函数 要分讨论，函数还要分；

情形6：二次函数的对称轴与区间的位置关系不确定，一般要  分三种情况讨论；

情形7：的根或零点与区间位置关系不确定时需要分类

情形8：指数函数（）和对数函数（）的底数大小不确定要分讨论；

情形9：去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性需要分来讨论；

情形10：复合函数由于有参数导致单调性不能确定需要分类讨论；

情形11：函数在区间上单调时一般要分单增还是单减。

…………………………

题型一：集合型

例1. （2020-2021合肥五中期中17题）设集合，．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

练1. （2020-2021合肥七中期中18题）已知集合，

（1）若,求的取值范围；

（2）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．

题型二：二次函数型

例2-1. 解关于的不等式：

练2-1. 解关于的不等式：

例2-2. （2017-2018合肥十中段一第20题）

已知函数（是常数）在区间上的最大值是

（1）求的表达式；

（2）求关于的函数的最值．

练2-2. （2018-2019年合肥一、七中段一第19题）

已知函数在区间，上有最小值，记作

（1）求的表达式

（2）作出的图象并根据图象求出的最大值．

例2-3. （2017-2018合肥六中段一第9题）

如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是（    ）A．                   B．          C．                   D．

练2-3. （2018-2019年合肥九中段一第14题）

函数在区间上递减，则实数的取值范围是（    ）

A．                   B．                    C．                    D．

题型三：指对函数型

例3-1. 已知且，讨论的单调性.

练3-1. （2019-2020合肥168诺贝尔班期末8）

已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ）

A.                        B.        

C.                        D.

例3-2. 设，函数在的最大值是14，求的值

练3-2. 已知函数

（1）求解关于的不等式；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

第七节——多变量求参数

题型一：单变量双函数

例1.设函数

（1）若对任意的，使得成立，求实数的取值范围.

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

练1. 已知，，若时，恒有成立，求的最大值.

题型二：双变量双函数

例2-1. 已知函数和函数，若，，使得成立，求的取值范围_____________.

练2-1. 已知函数，，为实数，对任意的，总存在，有成立，求实数的取值范围.

例2-2. （2018-2019年合肥六中段一第12题）

已知奇函数在上单调递增，且，若对所有的，当时都成立，则实数的取值范围是____________.

练2-2. （2018-2019年合肥一中段一第22题）

已知为定义在的奇函数，且，任意，时，有，任意的，存在使得成立，求取值范围.

例2-3. （2020合肥8中期中16）已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是　 　．

练2-3. （2020合肥7中期中16）已知函数，，若对任意，，总存在，，使成立，则实数的取值范围为　　．

 

第八节——分式应用

题型一：分式求最值

例1-1.                                                    练1-1.

例1-2.                                           

练1-2.                                             

例1-3. .                                                    练1-3.

题型二：怎么处理分式

例2-1. 设，且为常数，当时，函数的最小值是_________________.

练2-1. 已知函数（为实数），，当时，求函数在上的最小值

例2-2. 函数，若，则__________________.

练2-2. 函数，,若,求_____________.

例2-3. 已知定义域为的函数是奇函数，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围_______________.

练2-3. 已知是定义在上的奇函数.

（1）求的值；

（2）若，求实数的取值范围.

例2-4. （2020-2021六中期中21题）

已知函数

（1）求的值；

（2）当的定义域是时，求函数的值域．

练2-4. 已知函数

（1）若函数为奇函数，求的值，并求此时函数的值域；

（2）若存在，使，求实数的取值范围.

第九节——绝对值

题型一：翻折——去左变偶

例1-1.（2018-2019合肥十中期中第16题）

关于函数，有下列命题：

①的图象关于轴对称；②的最小值是2；③在上是减函数，在上是增函数；④没有最大值

其中正确命题的序号是__________________..

练1-1. （2018-2019合肥168期末第2题）

函数是   

A．最小正周期为的奇函数    B．最小正周期为的奇函数 

C．最小正周期为的偶函数    D．最小正周期为的偶函数

例1-2. 设函数，则使得（1）成立的的取值范围是（    ）

A．      B．，，    C．       D．，，

练1-2. （2019-2020合肥168期中10）

已知函数，则（    ）

A.                                       B.

C.                                        D.

例1-3. 函数的部分图像大致是（    ）

A.B．C．D．

练1-3. （2018-2019合肥168期末第9题）

函数的部分图象大致是   

A．B．C．D．

题型二：翻折——下翻上

例3-1. 已知函数在上的最大值为，则的取值范围是（    ）

A．        B．             C．     D．

练3-1. 已知函数，求函数在上的值域.

例3-2. 已知函数，，使得，则实数的最大值是_____________.

练3-2. 已知函数，，使得，则实数的最大值是_____________.

题型三：分类讨论

例3-1. 已知函数，其中．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围．

练3-1. （2020-2021合肥庐阳期中22题）已知函数

（1）当时，求函数的单调递增区间.

（2）当时，的最大值为，求实数的取值范围.

例3-2. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式在，有解，求实数的取值范围．

练3-2. 已知函数，．

（1）若时，解不等式；

（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围．

第十讲  计算能力培养

题型一：指对计算

（1）__________;

（2）__________;

（3）__________;

（4）__________;

（5）__________;

（6）__________;

（7）__________;

（8）__________;

题型二：因式分解

（1）__________;

（2）__________;

（3）__________;

（4）__________;

（5）__________;

（6）__________;

（7）__________;

（8）__________;

（9）__________;

（10）__________;

题型三：比较大小

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

题型四：计算

（1）已知，用表示

（2）已知，求

①__________;                                         ②__________;

③__________;                                ④__________;

（3）已知正实数满足

①求的值

②比较的大小

（4）函数的图像关于点___________对称

题型五：解方程组

（1）                                                （2）

题型六：三角函数

（1）已知，则（    ）

A．                          B．                        C．                       D．

（2）设是以为周期的奇函数，且，若，则的值等于　 　．

（3）已知，，则　　

A．                        B．                        C．2                           D．

（4）已知函数在时取得最大值，则　　．

 

（5）已知．求下列各式的值：
（1）；
（2）

（6）已知，则（    ）

A.                    B.                   C.                   D.

（7）已知，则的值是（    ）

A.                B.                     C.                     D.

（8）已知

求：（1）的值；（2）的值