高考课标版二轮复习《分类讨论思想》专题

 

高考课标版二轮复习《分类讨论思想》专题

天津  张克良

（邮编：301700  地址：天津市武清区杨村镇和平里22号楼1门202室）

一、专题辅导

1.专题热点透析：

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在课标版高考试题中占有重要位置.

我们特意从2012年各地的高考试卷中随机选择了10份属于使用课标版地区的试题，从中列出了各试题所含分类讨论问题的分数与涉及到的知识板块，列出下表：

 

考题	山东	上海	北京	天津	辽宁	重庆	湖南	福建	江西	陕西
函数	5	5					13	5	5
数列			5							5
三角
不等式	5			5	10				5	5
立体								5
解析		13
排组	5			5		5
概率	12		13		12	13	12	5	5	13
导数	13	13	13	13		12	13	14	14	14

 

我们从去年上述表中不难看出，全国各地课标地区高考试题中，分类讨论的问题几乎可以说涉及到高中数学的各个知识板块，尤其在函数、不等式、概率、导数等方面出现的较多，所占的分数在一份试题中基本在25分以上.因此，同学们对分类讨论的思想应该给予足够的重视.

2.热点题型分类精讲：

解答分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一，不漏不重，再对所有分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果，最后进行归纳小结，综合得出结论.

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决.它是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的探索性、逻辑性和综合性，是历年数学高考的重点和难点，在高考试题中占有重要的地位.

可以看出，用分类讨论的思想来解题，在高考试题的解答中越来越体现出其重要位置．有关分类讨论思想的数学题之所以在高考试题中占有重要位置，是由于其具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，能体现“着重考查数学能力”的要求．从培养人的角度来看，这类数学问题对于训练思维的条理性和深刻性有着重要的作用．

在数学试题的解答中，需要分类讨论的地方、类型很多，很难说全．下面仅就一些比较常见的方面分类阐述并举例说明，并附有相应的练习题，以便使同学们掌握运用好分类讨论解题的这种思想.

题型1  集合问题中的分类讨论.

例1  集合 ， ，若 ，那么 的范围是什么？

分析：此题求解时，要注意对实数 的各种情况作专门的讨论，尤其不可忽略对 的考虑.

解析： ，

⑴当 时， ，又 ，

∴    解得 ；

⑵当 时， ，此时显然满足 ，故 是满足题设的 的一个值；

⑶当 时， ，此时显然满足 ，故 也是满足题设的 的值.

最后，综合⑴，⑵，⑶可得，所求 的范围是 .

评注：一般来说，对于集合中的字母，在满足题设的前提之下，都要注意对字母是任何实数的情况进行分别讨论来处理，以免出现遗漏.

同步练习题1  已知 ， ，且 ，则实数 的取值范围是什么？

题型2  函数问题中的分类讨论.

例2  已知关于 的函数 ，当 为何实数时，函数的图象会与 轴有交点？

分析：由于所给函数并未指明是二次函数，所以求解时务必注意要对二次项的系数 是否为零做出讨论处理.

解：由于所给的函数并没有告知是二次函数，因此应分类讨论求解.

⑴ 若 ，则 .

当 时，所给的函数为一次函数 ，其显然与 轴有交点.

当 时，原方程变为常数函数 ，其显然与 轴没有交点.

⑵ 若 ，即 时，则原函数为是二次函数，它的图象若与 轴要有交点，则还必须满足

, 解得  .

∴  当 ，且 时，函数的图象会与 轴有交点.

综合（1）、（2）可知，当 时，原函数的图象会与 轴有交点.

评注：一般来说，对于题中所给的含有字母系数的形如二次函数但并没有明确指出是二次函数的函数，一定要注意对二次项的系数是否为零进行讨论.

同步练习题2  函数 的定义域为集合 ，关于 的不等式 的解集为 ，求使 的实数 的取值范围.

题型3  数列问题中的分类讨论.

例3        如果数列 的前 项和 ，那么求此数列的通项公式.

分析：对于数列的通项公式，务必注意要对 为任意正整数时公式都成立,切勿片面得结论.

解析：∵ ，

但 ，∴

评注：一般来说，对于等差数列要注意当前 项和 （ ）时，其通项公式时常需要对于 要单独处理；而对于等比数列要注意当公比 时，数列虽然是常数数列但仍属于等比数列.

同步练习题3  设等比数列 的公比为 ，前 项和 ( ， ，…)．

求 的取值范围.

题型4  三角函数问题中的分类讨论。

例4  在 中，已知 ， ，求 .

    分析：由于依题可知 为锐角，于是由 可以得知, 有锐角与钝角的两种可能，因此求解应该注意讨论.

解析：∵  ，且 为 的一个内角，

    ∴  ，且 .

    若 为锐角，由 得 ，此时 ；

    若 为钝角，由 得， ，此时 ，这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见 .

    ∴   

   .

评注：此题的结论虽然 实际只能是锐角，但是从解题来说，求解中的讨论还是必不可少的过程，不可省略.

同步练习题4  在△ 中，若 ，则求角 的度数.

题型5  方程或不等式中的分类讨论。

例5  已知函数 .

（Ⅰ）写出 的单调区间；

（Ⅱ）解不等式 ；

（Ⅲ）设 ，求 在 上的最大值.

分析：这是不等式与函数的综合题，一般来说，对于绝对值函数考虑其单调区间时，时常是转化为分段函数来处理，而对于 在 上的最大值需要从其单调性上来考虑.

解析：（Ⅰ）解：

∴ 的单调递增区间是 ；单 调递减区间是 .    

（Ⅱ）解：∵ | 或

  或 ，

∴ 不等式 的解集为 .                              [来源:学&科&网]

（Ⅲ）解：（1）当 时， 是 上的增函数，此时 在 上的最大值是

（2）当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，此时 在

上 的最大值是 ；                                                             

综上，当 时， 在 上的最大值是 ；当 时， 在 上的最大值是 .

评注：对于不等式的问题，一般只要能得到具体的不等式，那么就可以根据其特点来解决了，当然对于复杂一些的有时是需要借助导数来帮忙的.

同步练习题5  求函数 的值域.

题型6  立体几何中的分类讨论.

例6  已知平面 ， ∥ ， ， ，直线 、 、 分别交 于 、 、 ，且 ， ， ，求 的长度.

分析：本题的难点恰恰是要对题目所涉及的情形要考虑全面. 本题所涉及的主要是点 、直线 、平面 ,可根据其位置分情况讨论: 若 、 、 的延长线分别交 于 、 、 ，则其情况如图1所示；若 、 、 的反向延长线分别交 于 、 、 ，则其情况如图2所示；若 与直线 位于 的两侧，则其情况如图3所示.

E

B

C

图1

A

D

F

G

解析：根据题意，当其图象如图1所示时，

∵ 平面 ， ∥ ，平面 ∩平面 ，

∴  ∥ ，∴  .

∵  ， ，

∴  ，

F

C

图2

A

B

D

E

G

∴  ，即 .

∵  ，∴  ，∴  .

 

(2) 当题目所涉及的情况如图2所示的情形时，

同理可得  ∥ ，则 .

∵  ，

C

F

图3

A

B

D

E

G

∴  .

(3) 当题目所涉及的情况如图3所示的情形时，

同理可得  ∥ ， 则 .

∴  .

∴  .

 

评注：利用点 与线段 之间不同的位置关系，以及点 、线段 与平面 之间的不同位置关系，进行比较方便且不易遗漏情况.

同步练习题6  如果正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，求它的体积.

题型7  解析几何问题中的分类讨论.

例7  已知曲线E上任意一点 到两个定点 和 的距离之和为4．[来源:Zxxk.Com]

（1）求曲线E的方程；

（2）设过 的直线 与曲线E 交于 、 两点，且 （ 为坐标原

点），求直线 的方程．

解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点 的轨迹为椭圆.

 其中 ， ，则 ．

所以动点M的轨迹方程为 ．

（2）当直线 的斜率不存在时，不满足题意.

当直 线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ， ，

∵ ，∴ ，

　　∵ ， ，

∴ ．

∴ ．…… ①  

由方程组

得 ．

则 ， ，

代入①，得 ．

即 ，解得， 或 ．

所以，直线 的方程是 或 ．

同步练习题7  如图，点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于 轴上方， ．

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的距 离 的最 小值．

 

 

题型8  排列组合问题中的分类讨论.

例8  一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球．从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法共有多少种？

分析：可以按照红球取球的个数来进行分类考虑.

解析：把问题分为三类：

红球取4个，白球不取，取法种数为 ；

红球取3个、白球取1个，取法种数为 ；

红球取2个、白球取2个，取法种数为 ．

因此，满足条件的取法种数为 ．

评注：要注意，红球的个数不比白球的个数少是允许红球与白球的个数相等的情况，切勿遗漏.

同步练习题8  若四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？

题型9．概率统计问题中的分类讨论.

例9  设一部打井机器在一天内发生故障的概率为0.1，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润5万元；发生一次故障可获利润3万元，发生两次故障可获利润1万元，只发生三次故障可获利润0万元，发生四次或五次故障就要亏损1万元．求一周内期望利润是多少？

分析：对于概率与期望问题，关键是要考虑周全，不可有遗漏或欠缺.

解析：以 表示一周5天内机器发生故障的天数，则 ～ ，于是 的概率分布为 ， ， ， ， ， ， .

以 表示一周内所获利润，则

∴　 的概率分布为：

，

，

，

，

.

故一周内的期望利润为：

(万元).

同步练习题9 在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为 千米，沿CD直线修一条公路(如图).

(1)将每吨货物运费 (元)表示成 的函数.

(2)当 为何值时运费最省？

题型10．导数问题中的分类讨论.

例10        已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切

线斜率为8.

（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求函数 的单调区 间.

分析：对于第（Ⅰ）问，只要根据已知设法得到 的方程组，那么问题易解；对于第（Ⅱ）问，只要利用导数就可求出函数 的单调区 间.

解析：（Ⅰ）解：∵函数 的图象过点 ，∴ .

∴ .      ①                        

又函数图象在点 处的切线斜率为8，

∴ ，又 ，

∴ .      ②                       

解由 ①②组成的方程组，可得 ．  

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，

令 ，可得 ；

令 ，可得 ．              

∴ 函数 的单调增区间为 ，减区间为 .[

同步练习题10  已知函数 ，其中 为实数.

(1) 若 在 处取得的极值为 ，求 的值；

（2）若 在区间 上为减函数，且 ，求 的取值范围.

 

 

 

 

二、专题专项训练题

    分类讨论思想专项训练题

 

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若 ，且 ，则实数中的取值范围是(    )

       A.                               B.

C.                                D.  

2．若函数 的定义域为R，则实数 取值范围是(    )

  A.                          B.

  C.                           D.

3. 设函数 定义则实数集R上，它的图象关于直线 对称，切当 时，   ，则有(    )

A.              B.   

C.              D.  

4.若函数 则 上为增函数，则 的取值范围是(    )

A． 　　                        B． 　　           

C． 　　                        D．                                                                                                                                                                                                                          

5. 若直线 过点 ，且它在 轴上的截距是它在 轴上的截距的3倍，则直线 的方程为(    )

A.                           B.         

C. 或            D. 或

6. 若首项为 的等差数列，从第10项起为正数，则公差 的取值范围是(    )

      A.                               B.

  C.                            D.

7. 经过点 且与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程是(    )

A.                          B.

C.                        D.

8. 在△ 中，若 , ，则∠ 的大小是(    )

A.                                  B.  

C. 或                           D. 或

 

 

 

E

S

A

C

B

D

F

O

O1

9. 一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一

个小洞D、E、F，且知SD：DA ： ： ： ，

若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 (    )

A.                               B.            

C.                               D.  

 

10. 在区间 上随机取一个数 ， 的值介于 到 之间的概率为(    )

A.                                B.          

C.                                D.  

 

11. 设 ， ，…， 是各项均不为零的等差数列，且公差 ，设 是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最大的 值，则 (    )

A.4                                B.5            

C.6                                D.7

    12. 设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为 ，若在 上是 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”.已知当 时， 在 上是“凸函数”，则 在 上(    )

A.既有极大值，也有极小值　　　　    B. 既有最大值，也有最小值　　　　

C.有极大值，没有极小值　　　　　    D. 没有最大值，也没有最小值

 

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 满足条件 的正数m的取值范围是_________.

14. 已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点，则k、a的取值范围

是__________________.

 

15. 已知函数 ， ，且 恒成立，则 的取值范围是__________________.

 

16.已知同一平面上的向量 、 、 两两所成的角相等，并且| | ，| ，| | ，则 ___________.

三、解答题:

17.(本小题满分10分）已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为 ， ，

．向量 = , = 满足 // .

（1）求 的取值范围；

（2）若实数 满足 ，试确定 的取值 范围.

18.(本小题满分12分）有固定项的数列 的前 项和 ，现从中抽取某一项(不包括首项、末项)后，余下的项的平均值为 .

(1)求数列 的通项；

(2)求这个数列的项数，抽取的是第几项 ?

19.(本小题满分12分）已知函数 ， ．

（Ⅰ）解关于 的不等式 （ ）；

（Ⅱ）若函数 的图象恒在函数 图象的上方，求 的取值范围．

O

 

20.(本小题满分12分）如图，在三棱锥 中，

侧面 与侧面 均为等边三角形， ，

为 中点．

（Ⅰ） 证明： 平面 ；

（Ⅱ）求二面角 的余弦值．

 

 

 

21.(本小题满分12分）甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．已知甲答对每个题的概率为 ，乙答对每个题的概率为 ．
　　（1）求甲恰好得30分的概率；
　　（2）设乙的得分为 ，求 的分布列和数学期望；
　　（3）求甲恰好比乙多30分的概率.

 

 

 

22.(本小题满分12分）已知函数 在 与 时都取得极值.

       （Ⅰ）求 的值与函数 的单调区间；

       （Ⅱ）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值 范围．

 

 

  

精讲练习题参考答案：

练习1  解：∵ ，

，又 ，于是，应视 的不同情况讨论如下：

⑴当 时，必有 .这时由 可得， .解得 .

⑵当 时，应有 ，即 .

x

5

-2

m+1

2m-1

A

B

图1

又  ，所以再讨论如下：

①当 ， 的关系如图1所示的情况时，则有

          解得 （即无解）.

x

5

-2

m+1

2m-1

A

B

图2

②当 ， 的关系如图2所示的情况时，则有

   解得 .

综合①,②可知，当 ，且 时，应有 .

最后，综合⑴，⑵可得，所求实数 的取值范围是 ，或 .

练习2 解：∵  ,  ∴  .

由   ,

由   , 即 .

    若 ，即 ,于是，解得 ，

    ∵ ，∴ ，∴ .

    ∴ .

若  即 ， 则  满足 ，∴ 适合.

       若  即 .于是，解得 ，

∵ ，∴ ， ， ，

综上， .

练习3 解：因为 是等比数列， ，可得 ， ，

当 时， ，

当 时， ，即 ( ， ，…)，

则有    ①             或  ②

由②得 ，由①得 ．故 的取值范围是 ∪ ．

练习4 解：∵ ，∴ ，

∵  为△ 的内角，∴ ，∴ 可得 ，

又 ，∴  或 .

练习5 解：将函数式变形为方程 ，    ①

⑴ 当 ，即 时，方程①实际为 ，显然有解且解为 .这说明， 是所给函数的一个函数值.

⑵ 当 ，即 时，

∵ 取实数，∴ 方程①若有解则必须满足：

 

即 解得  ，且 .

综上，函数的值域为 .

练习6 解：⑴ 当2为正三棱柱的高时，底面周长为4，底面边长为 ，则体积为 ；

⑵ 当4为正三棱柱的高时，底面周长为2，底面边长为 ，则体积为 .

综上，三棱柱的体积为 或 .

练习7  解：（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）

设点P的坐标是 ，由已知得

（舍）

,  ∴P点的坐标是    

（2）直线AP的方程是

设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是 ，

于是

椭圆上的点 到点 M的距离d有

由于 ,∴ 当 时， 取得最小值 .

 

练习8  解：任取4个点共 种取法.其中，四点共面的有三类：

⑴每个面上有6个点共面，则4个面含共面的取法有 种；

⑵各棱的中点的4个点中共面的情况有3种；

⑶一条棱上的3点与对棱的中点可共面的取法有6种.

∴  不同的取法共有 （种）.

 

练习题9  解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为 、 (元)( 为常数) ，则 .

，

∴每吨货物运费 (100－x)·3k+ ·5k(元)( )，

(2)令 · ·

∴

∵ ，∴ 解得 ，

当 时， ;当 15时， .

∴ 当 时， 有最小值.

所以，当 为15千米时运费最省.

 

练习10 解：(Ⅰ)由题设可知: 且 ，

即 ，解得  

（Ⅱ） ，

又 在 上为减函数，                           

∴ 对 恒成立，

即 对 恒成立.

∴ 且 ，

即 ，

∴ 的取值范围是

 

 

 

 

 

 

专项训练题参考答案：

一、选择题：

1．D.解：若 ，即 ， 时， .

    若 ，则 时， .

∴  当 或 时，即 时，都有 ，故选D.

 

2．D. 解：由题意可知， 在R上恒成立，

⑴当 时，其显然满足条件；

⑵当 时，则需二次方程 无实根，∴△ ，

∴ .

综合⑴，⑵可得， .故应选D.

 

3．B.解：当 时， 是单调递增函数，又它的图象关于直线 对称，所以当 时，函数 是单调递减函数，且 ，因为 ，所以 ，即 ，故选B.

4．A.解： ，由函数 在 上为减函数得 ，再由 得 ，所以 ,即 .故选A.

5．C.解：若直线 过原点，则直线方程为 ，把点 代入可得 ，于是可得直线方程为 .若 不过原点，则直线方程为 ，再将点 代入可得 ，于是可得直线方程为 .综上应选C.

6．D.解：由条件得 即

所以， 解得 .故选D.

7．选C. 解：设与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程是 ，

将点 坐标代入方程，得 ，

故所求的双曲线方程是 ，即 .故选C.

 

8．A.解：将题中的两式进行平方相加，可得 ，

∴ ，则 或 ，即∠ 的大小是 或 ，

但从第一个式子 可得 ，那么 ，这样∠ 不可能超过 ，因此 要舍去.故∠ 的大小只能是 .故选A.

9．D. 解：当平面DEF与地面水平时，容器盛水最多.

作三棱锥F-SDE的高FO ，作三棱锥C-SAB的高CO，设FO ，CO ，

根据题设容易得到 ： ： ，

∴

，

    ∴  最多可盛原来水的 .故选D.

10．A.解：在区间 上随机取一个数 ，即 时，要使 的值介于

到 之间，需使 或 ，∴  或 ，区间长度为 ，由几何概率知 的值介于 到 之间的概率为 .故选A.

 

11．A.解：若等差数列中连续三项成等比数列，则可推出 ，这与题中 矛盾.由此当 时，无论怎么删除都会保持连续三项，故必有 .

当 时，若删去 ，则有 ，则（ = ，

化简得 ，因为 ，所以 ；

若删去 ，则有 ，即（ = ，可得 .

综上， 或 .

当 时，只可能删去 ，则 ，即 ，

化简得 .因为 ，所以也不能删去 .故选A.

12．C.解：依题得 ， 对于 恒成立，

∴ ，又当 时也成立，有 ，而 ，∴ .

于是， ，由 得 或 （舍去）.

∴ 在 上递增，在 上递减，故只有C正确.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 或 ；解析：由 ，得 ，

当 时，得 ，解得 ；

当 时，得 ，解得 .

所以，所求的取值范围是 或 .

14. ＜k＜ ，0＜ ≤1.解析：由 消去 ,

得 .

依题意有 .

又 ，∴ 1－4 .

∴ ＜ ＜ ，0＜ ≤1.

15. 当 时， 的取值范围是 ；当 时， 的取值范围是 .

解：∵ ， ，且 ，

⑴ 当 时，则 在 上是增函数，

∴ ，解得 ；

⑵ 当 时，则 在 上是减函数，

∴ ，解得 .

综上，当 时， 的取值范围是 ；当 时， 的取值范围是 .

16. 或 .解：由于当向量 、 、 共线且同向时，所成的角均为 ，

所以当向量 、 、 共线且同向时， | |+| |+| | ，

当向量 、 、 不共线时，易知 、 、 皆为非零向量.设 、 、 所成的角为 ，则 ，即 .

所以， =| || | ，同理 ， .

由 ，

所以， .

综上， 的长度为 或 .

三、解答题:

17. 解：(1)因为 ∥ ，  所以 ，  

因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得 .

于是 .

因为 . 故三角形ABC为直角三角形.

, 因为 ，

所以 , 故 .

(2)  .

设 ，则 ，

，因为  ＜0，故 在（1， ]上单调递减函数.

所以 .所以实数x的取值范围是 .

18. 解：(1) 当 时，   ，

即 .

经考察，当 时， 也成立，故 .

(2) 设抽取的是第 ，且 项，则依题得 ，

整理，得  ，①

又  ， ，∴  ，

∴

∴  ∴  .

又  ，故 ，即这个数列共有 项.

当 时，由①可得 ，所以抽取的是第 项.

19. 解：（Ⅰ）不等式 即为 ，

当 时，解集为 ，即 ；

当 时，解集为全体实数 ；

当 时，解集为 .

（Ⅱ） 的图象恒在函数 图象的上方，即为 对任意实数 恒成立，即 恒成立，

又对任意实数 恒有 ，于是得 ，

即 的取值范围是 .

 

20. 证明：（Ⅰ）由题设 ，连结 ， 为等腰直角三角形，所以 ，且 ，

又 为等腰三角形，故 ，

且 ，从而 ．

所以 为直角三角形， ．

又 ．所以 平面 ．

（Ⅱ）取 中点 ，连结 ，由（Ⅰ）

知 ，得

．

为二面角 的平面角．

由 得 平面 ．

所以 ，又 ，故 ．

所以二面角 的余弦值为 ．

21. 解：（I）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为 ，
　　（II） 的取值为0，10， 30，60.
　　　　　 ， ，
　　　　　 ， .　　　

　　 的概率分布如下表：

	0	10	30	60
		[来源:Z*xx*k.Com]

　　 .　　 

（III）设甲恰好比乙多30分为事件 ，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件 ，　　　　甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件 ，则 . , 为互斥事件.
.
所以，甲恰好比乙多3 0分的概率为 .

22. 解：（Ⅰ） ,

由 ， 得 ,         

，

当 变化时， 、 的变化情况如下表：

		[来源:Z.xx.k.Com]
	­	极大值[来源:学科网ZXXK]	ˉ	极小值	­

所以函数 的递增区间是 与 ,递减区间是 ；    

（Ⅱ）由（1）可知 ，当 时，

为极大值，而 ，则 为最大值，         

要使 恒成立，则只需要 ，  

解得 .