 导读： 教材在必修第一册介绍了函数的最大(小)值,但没有介绍求函数的最大（小)值的一般方法。 本小节先给出了函数极值的定义(限于可导函数),并介绍用导数求函数极值的一般方法.在此基础上,进一步介绍了利用函数极值求函数最大（小）值的方法。 教材还介绍了与函数有关的不等式的证明，这类不等式通常可以转化为用导数求函数的最大(小)值的问题。解决具体问题时,要特别注意相关函数的定义域,以及函数取得最大(小)值时自变量的取值. 实际问题中的优化问题,一般可以转化为用导数求函数在某一个范围内的最大(小)值问题，教材以例题的方式作了介绍。在解决这类问题时,除了要获得相关函数模型外（特别注意求出函数的定义域)，还要注意将求得的函数的最大（小)值的实际意义解释清楚. 一、教材分析 教材截图 （考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）
教材分析： 1.函数极值的定义 函数的极值是学生在本小节第一次接触到的新概念。 教材通过具体案例,结合函数图象,直观地给出了极值的概念,并通过具体函数在极值点及两侧导数值的变化情况,通过探究归纳出用导数求函数极值的一般方法.对于学生已经学习过的函数的最大（小)值问题,则侧重于借助实例让学生体会如何利用导数来求函数的最大（小)值。 教材以高台跳水实例引人函数极值的讨论.在观察教材的图5.3-9时,要让学生结合实际经验探索函数的极值与导数值的正负号变化之间的关系。 容易发现,当t=a时,运动员距水面的高度h最大。 为了让学生从图象上直观地看到t=a附近函数导数值的正负号变化,教学时可以采用信息技术工具,放大函数在t=a附近的图象（图5-4)。作出函数图象在t=a的左侧某点处的切线,当切点沿函数图象从t=a的左侧移动至右侧时,切线斜率
结合上述过程,学生可以直观看到:
(2)在t=a附近,当t<a时,函数h(t)单调递增, 教学时,教师可首先引导学生观察图象,直观感受函数在某些特殊点（极值点）的函数值与附近点的函数值大小之间的关系,以及函数在这些点处的导数值与这些点附近函数的增减情况;然后结合教材第90页的“探究”，给出函数的极大值和极小值的概念,分析求函数极值的方法。 2.关于例5的说明 在用导数求具体函数的极值时,求三次多项式函数的极值是重点。 例5给出了求三次多项式函数极值的方法.需要说明的是,教材中的表5.3-2给出了当x变化时, 教材中的图5.3-12是函数f(x)的图象,教学时应利用它为所得结论提供直观验证.需要注意的是,极大值和极小值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质，而且极大值不一定大于极小值. 在例5中,求出该函数的极大值大于极小值后,为了使学生不产生“极大值一定大于极小值”的误解,教材安排了“边空”中的问题:“极大值一定大于极小值吗?”.教学时教师应先让学生独立思考，然后可用教材中的图5.3-13加以说明,并进一步举具体函数的实例加以印证.例如,函数
3.可导函数取得极值的必要条件 函数在某点处的导数值为0是可导函数取得极值的必要条件,而非充分条件.教材第91页安排的“思考”,是为了引导学生得出结论:“导数值为0的点不一定是函数的极值点”.教材利用函数 可导函数y=f(x)在x=x=x0处取极大（小)值的充分条件是:
(2)在x=x0附近的左侧 教材在此基础上归纳概括了求函数y=f(x)的极值的一般步骤.教学时应让学生将上述步骤与判断函数单调性的一般步骤进行比较,由此找出异同点. 4.函数的最大（小)值 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域上的性质.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在定义域内或指定的区间上,哪个值最大,哪个值最小.本小节在函数的极大（小)值基础上进一步研究函数的最大（小)值问题. 在函数的最大（小)值的教学中,要体现从特殊到一般的过程,结合函数图象直观地得出一般结论: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. 结合函数极值中的例子以及函数的图象不难看出,只要把函数y=f(x)的所有极值连同耑点处的函数值进行比较,就可以求出函数的最大(小)值. 5.关于例6的说明 例6在例5求函数极值的基础上进一步求函数的最大(小)值。 教学时要结合例5来进行.例5已求出函数 例6的一个重要教学目的,就是归纳总结如下的求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤: （1）求出导函数 （2）用导函数 (3)根据所列表格,比较函数的极值与函数区间端点处函数值的大小,得出函数的最大(小)值. 学生熟悉用上述一般步骤求函数的最大(小)值之后,对一些简单的求函数最大（小）值问题,有些步骤可以省略。 6.利用函数的最大(小)值证明不等式 通过本节例4,借助图象可以直观得到不等式
教材第94页介绍了构造函数 教学时，可以让学生自己尝试构造函数,体会用求函数最大值来证明这个不等式的方法,并由此对用求函数最大(小)值证明不等式的步骤进行适当梳理. 7.关于例7的说明 例7是用导数研究函数的单调性、极值等性质以及画函数大致图象的问题。 教学时,应特别重视画出函数大致图象的过程,并由画图过程提炼出函数作图的基本步骤,厘清这些步骤与求函数单调区间、求函数极值等问题的步骤之间的联系. 在得到函数图象后,还可以启发学生由图象进一步研究函数的最大（小）值、函数的值域等性质. 函数 在通过观察函数 在此基础上，可以引导学生总结用导数研究函数性质的步骤; (1)求出函数f(x)的定义域,确定函数图象的大致范围; (2)用导数 （3）利用函数f(x)的单调性、极值等性质画出f(x)的大致图象; (4)利用函数f(x)的图象进一步研究函数的最大（小）值、值域、零点等性质. 8.关于例8的说明 教材安排例8,意在通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用. 当把每瓶饮料的利润表示为
后，教学中应重点介绍利用导数探求函数最大值的方法. 本例中y的最大值也可以用其他方法求解.例如, 令y<0,解得0<r<3.此时
当r=6-2r,即r=2时， 令
所以，当r=6时， 教学时,教师可以通过解决问题的不同方法,说明用导数求函数的最大（小）值是一般方法,具有明确的步骤性和可操作性. 通过此问题的解决,本例一开始时的问题可以解释为: (1)市场上等量的小包装的物品,由于其成本比大包装的高,要想保持一定的利润,就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些. (2)由例8的结论可知,饮料瓶越大饮料公司的利润越大. |
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