锐角三角函数

锐角三角函数

 

［学习目标］

  1. 正确记忆理解四个锐角三角函数

    （1）正弦：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边与斜边的比，叫这个锐角的正弦。

    即：如图1

   

    （2）余弦：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比，叫这个锐角的余弦。

    即：如图1

   

    （3）正切：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边与相邻直角边的比，叫这个锐角的正切。

    即：如图1

   

    （4）余切：在直角三角形中，一个锐角相邻的直角边与所对的直角边的比，叫这个锐角的余切。

    即：如图1

   

  2. 特殊角的三角函数值：

  3. 互余两角正、余弦间的关系；正、余切间的关系。

    （1）任意锐角的正弦值，等于它余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它余角的正弦值。

    即：

    （2）任意锐角的正切值等于它余角的余切值；任意锐角的余切值等于它余角的正切值。

    即：

  4. 同角的正、余弦间的关系；正、余切间的关系；四个锐角三角函数间的关系。

    （1）

    当0°＜A＜45°，；

    当45°＜A＜90°，。

    （2）

    当0°＜A＜90°时，正切值随角度的增加（减少）而增加（减少）。

    当0°＜A＜90°时，余切值随角度的增加（减少）而减少（增加）。

    （3）

 

二. 重点、难点：

    重点理解锐角三角函数定义，培养用其解题意识，掌握锐角三角函数的性质。

    难点是应用锐角三角函数定义解边角关系及辅助线的添加。

 

【典型例题】

  例1. 已知△ABC，∠C＝90°，a＝3，c＝4，求∠A的四个三角函数值。

    解：∵∠C＝90°

    ∴△ABC为Rt△ABC

    在Rt△ABC中，根据勾股定理：

   

   

   

 

  例2. 已知△ABC，∠C＝90°，，求cosA，b，c的值。

    解：在中，∠C＝90°，

   

    在中，由勾股定理：

   

   

    （舍去）

   

   

 

  例3. 已知△ABC，∠C＝90°，，求tanA的值。

    解：在中，∠C＝90°，

   

   

    （舍去）

   

 

  例4. 已知△ABC，∠C＝90°，，求∠A的四个三角函数值。

    解：在中，∠C＝90°

   

    ∴可设

    在，由勾股定理：

   

    （舍去）

   

     

     

 

  例5. 已知：如图2，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD：DC＝1：2，求∠DBC的四个三角函数值。

    解：过点D作DH⊥BC于H

    ∵AD：DC＝1：2

    ∴可设AD＝k，DC＝2k

   

    ∴，△ABC是等腰三角形

    ∵∠A＝90°

    ∴△ABC是等腰直角三角形

    ∴∠C＝45°

    在Rt△ABD中，由勾股定理：

   

   

    ∵DH⊥BC于H

    ∴∠DHC＝90°

    ∴△DHC是等腰直角三角形

   

    ∵∠C＝45°，DC＝2k

   

    在中，

    ∵∠C＝45°，AC＝3k

   

    ∴在中

   

   

   

 

  例6. 已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，。

    求证：∠AED＝∠DBC

    证明：

    ∴可设

    则

   

   

    ∵在中，

    ∴∠C＝45°

    ∴过点D作DH⊥BC于H

    在中，

   

    同理，

    同理，在中，

   

    在中，

   

 

  例7. 已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E。

    求证：

    证明：∵CD⊥AB于D

    ∴∠CDA＝90°

    ∴△ACD为Rt△ACD

    ∴∠1与∠A互余

    同理，∠1与∠2互余

    ∴∠2＝∠A

    ∵DE⊥AC于E

    ∴∠DEA＝90°

    ∴△DAE为Rt△DAE

    ∴在中，

    同理，在中

   

   

    即：

    在中，∠C＝90°

   

 

  例8. 计算：

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）已知（为锐角，求的值）

    解：（1）

    （2）

    （3）

    （4），为锐角

   

 

  例9. 计算：

    （1）

    （2）

    （3）

    解：（1）

           

    （2）

       

    （3）原式

             

              

 

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题。

  1. 在中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，则sinA与sinB的值是（    ）

    A.                B.

    C.                D.

  2. 在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则的值是（    ）

    A.             B.              C.             D.

  3. 在中，∠C＝90°，，则sinB的值是（    ）

    A.           B.            C.           D.

  4. 等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm，则tanB，的值是（    ）

    A.                 B.

    C.             D.

  5. 已知，则的值是（    ）

    A. 1               B.            C.            D. 2

 

二. 填空题。

  6. 若α为锐角，且，则＝________。

  7. __________。

  8. __________。

  9. ，则__________。

    ，α为锐角，则α＝_________。

  10. ，则锐角A、B关系是____________。

  11. ___________。

  12. 锐角A满足，则__________。

 

三. 解答题。

  13. 如图5，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求sinB，cosB的值。

图5

  14. 如图6，在中，CD是斜边上的高，已知，求sin∠ACD与cosB。

  15. 计算：

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

 

【试题答案】

一. 选择题。

  1. A            2. A        3. C        4. D        5. B

二. 填空题。

  6. 67°                     7. 1                       8. 1

  9. 0.8643，                 10. 相等

  11. 1                 12. 6

三. 解答题。

  13. 解：作AD⊥BC于D

    ∵AB＝AC，AD⊥BC

    ∴

    ∴在中

   

  14. 解：在中，由勾股定理：

   

   

   

     

  15. （1）；（2）；（3）；（4）

 

【励志故事】

乘奇而入

45年前，联邦德国的福斯汽车公司准备入主美国汽车大市场，此前曾派出大批人马做了一番细致入微的市场调查研究。在调研中了解到：美国人最大的天性之一就是争强好胜，喜欢标新立异。

于是，他们特意设计生产出了一种造型奇特，犹如“金甲虫”状的微型小卧车，当年就畅销40余万辆，打开了美国汽车营销大市场，增加了人们对福斯汽车的认可度。