集合的基本概念与运算、简易逻辑、 函数的概念与性质

集合的基本概念与运算、简易逻辑、 函数的概念与性质  

二轮复习专题讲座：集合与简易逻辑、函数与导数部分 

第1讲  集合的基本概念与运算

第2讲  简易逻辑

第3讲  函数的概念与性质

 

【典型例题】

二. 知识分析：

第1讲  集合的基本概念与运算

例1. 指出下列几个集合的异同处

解：集合A是指指数函数的定义域，；

集合B是指指数函数的值域，

集合C是指指数函数的图像上所有的点构成的集合，是一个点集；

集合D是一个单元素集合，这个元素是一个方程；

集合A、B、C是描述法表示集合，集合D是列举法表示集合。

 

例2. 设集合，，则集合中元素的个数为（   ）

A. 1                     B. 2                     C. 3                    D. 4

解：选B．如上图，在同一坐标系画出两个点集所表示的图象．由图象可知，两曲线有两个交点，即有两个元素．

 

例3. 设、为两个非空实数集合，定义集合，若，则中元素的个数是_______________．

解：因为，所以．当时，分别取1，2，6可得分别为1，2，6；当时，分别取1，2，6可得分别为3，4，8；当时，分别取1，2，6可得分别为6，7，11．综上：，故中有8个元素．

 

例4. 已知集合，，若，则实数的取值构成的集合为______________________．

解：方程两根分别为：，因此．

由得或{2}或{－3}，

所以，实数的取值构成的集合为．

 

例5. 已知，二次函数．设不等式的解集为A，又知集合，若，求的取值范围．

解：易知，由得：，，

由此可得：．

（1）当时，，的充要条件是，

即，解得；

（2）当时，，的充要条件是，

即，解得．

综上所述，使成立的的取值范围为．

 

例6. 设集合A中不含有元素－1，0，1，且满足条件：若，则有，请考虑以下问题：（Ⅰ）已知，求出A中其它所有元素；

（Ⅱ）自己设计一个实数属于A，再求出A中其它所有元素；

（Ⅲ）根据已知条件和前面（Ⅰ）（Ⅱ）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想．

解：（Ⅰ）由，则，

所以集合；

（Ⅱ）任取一常数，如3，则同理（Ⅰ）可得：；

（Ⅲ）猜想任意的，则集合．

下面作简要证明：

，则．

这四个元素互不相等，否则．

 

第2讲  简易逻辑

例1. 直线与平行（不重合）的充要条件是（     ）

A.             B.            C.             D. 或

解：，所以；故选C．

 

例2. 命题p：若、∈R，则是的充要条件；

命题q：函数的定义域是则（    ）

A. “p或q”为假                           B. “p且q”为真  

C. p真q假                                     D. p假q真

解：由三角形不等式知：是的必要不充分条件，即p为假命题；由可得或，即为真命题．故选D．

 

例3. 在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中逆命题为真命题的是            ．

解：①的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．例如：正方形的四个顶点不共线但共面，故其不正确；②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线定义知，异面直线没有公共点，故②的逆命题为真命题．

 

例4. 已知；­?是­?的必要不充分条件，求实数的取值范围.

解：由得，

由，得，

∴?即，或，而?即，或；

由?是?的必要不充分条件，知­?，

设A=，B=，

则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，

解得，此即为“?是­的必要不充分条件”时实数的取值范围。

 

例5. 已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题。则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题。

解：已知条件即，或，∴，或，

已知条件即，∴，或；

令，则即，或，此时必有成立，反之不然.

故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，

由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.

 

例6. 已知p：是的反函数，且；

q：集合，B = { x | x >0}，且AB=．

求实数a的取值范围，使“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．

解：先考虑：∵是f （x ）=1－3x的反函数，∴，由，可得，解得：；

再考虑：①当△＜0时，，，此时：由得；

②当△≥0时，由可得：，解得．

由①②可知．

要使p真q假，则；要使p假q真，则，综上所述，当的范围是时，p、q中有且只有一个为真命题．

 

第3讲  函数的概念与性质

例1. 设，则的定义域为（   ）

A.                             B.       

C.                             D.

解：∵在中，由，得， ∴，

∴的定义域满足，．

故选B．

 

例2. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（   ）

A. （0，1）         B.              C.              D.

解：∵是上的减函数，

当时，，∴；

又当时，，∴，∴，

且，解得：．

∴综上，，故选C．

例3. 函数对于任意实数满足条件，若，则    ．

解：∵函数对于任意实数满足条件，

∴，即的周期为4，

∴，

∴．

 

例4. 设的反函数为，若，则              ．

解：∵，∴．

 

例5. 已知是关于的方程的两个实根，则实数为何值时，大于3且小于3？

解：令，

则方程的两个实根可以看成是

抛物线与轴的两个交点（如图所示），故有：，

所以：，解之得：．

 

例6. 定义在上的奇函数满足，且当时，有

（1）求证：是上的增函数；

（2）证明：当时，

解：（1）任取，且，

则

因为，所以

所以，是上的增函数。

（2）由（1）可知：当时，，

所以，当时，

 

【模拟试题】

1、已知，则（   ）

A.                           B.

C.                           D.

2、设集合，，

，那么满足点P（2，3）条件是（    ）

A. m＞—1，n＜5                            B. m＜—1，n＜5

C. m＞—1，n＞5                       D. m＜—1 ，n＞5

3、不等式的解集为Q，，若，则（    ）

4、“”是“直线与圆相切”的（    ）

A. 充分不必要条件                           B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件                              D. 既不充分又不必要条件

5、不等式成立的一个必要而不充分条件是（    ）

A.               B.            C.        D.

6、给出下列三个命题：

①若，则；

②若正整数m和n满足，则；

③设为圆上任一点，圆O₂以为圆心且半径为1．当时，圆O₁与圆O₂相切．

其中假命题的个数为           （    ）

A. 0                     B. 1                     C. 2                     D. 3

7、函数的反函数是（   ）

A.                         B.

C.                         D.

8、是定义在R上的偶函数，是奇函数，又知，且，则的值是  （    ）

A. 150                   B. －150              C. 2008                 D. －2008

9、若函数，则该函数在上是（  ）

A. 单调递减无最小值                  B. 单调递减有最小值

C. 单调递增无最大值                  D. 单调递增有最大值

10、函数，若，则的所有可能值为（    ）

A. 1              B.                      C. 1，          D. 1，

11、已知集合，若AB =，则实数P的取值范围是______________________．

12、定义运算：  则函数的值域为        ．

13、已知在其定义域上为增函数，，则不等式的解集是_________________

14、以下同个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线与椭圆有相同的焦点.

其中真命题的序号为                 （写出所有真命题的序号）

15、集合，，且，求实数a的取值范围．

16、设集合，，问是否存在非零整数，使？若存在，请求出的值及；若不存在，请说明理由．

17、已知设：函数在R上单调递减；：不等式的解集为R．如果p或q为真，p且q为假，求的取值范围．

18、定义在R上的奇函数有最小正周期2，且时，．

（1）求在[－1，1]上的解析式；

（2）判断在（0，1）上的单调性，并给予证明．

 

【试题答案】

1、A   2、A   3、B   4、A   5、D   6、B   7、A   8、B   9、C    10、C

11、  12、   13、  14、③④

15、解：

（1）当时，，满足；

（2）当时，是二次函数，

若，，则；

若，；

由得，

综合（1）（2）得．

16、由知，a是否存在，取决于方程组是否有x的正整数解，

消去y得：①，

由，即，解得．

因为a为非零整数，所以a可能取的值为．

当时，代入①解得，这与矛盾，故；

当时，代入①解得，符合题意．

所以存在，使得，此时．

17、对于命题p:函数在R上单调递减；对于命题q：不等式的解集为R函数，所以函数在R上最小值为，故不等式的解集R．

由“p或q为真，p且q为假”p、q中一真一假．如果p 真q假，即，

解得；如果p假q真，即，解得，综上的取值范围为．

18、（1）当时，，

∵为奇函数，∴，

又，，，

∴．∴

（2）在（0，1）上是减函数。

下面证明：任取且，

因为。

由于，则，则，

由知，即，

所以，即，所以在（0，1）上为减函数．