函数的最大值和最小值

函数的最大值和最小值

 

二. 知识讲解：

一般地，设是定义在上的函数，在（）内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

1. 求在内的极值（极大值或极小值）；

2. 将的各极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

 

【典型例题】

[例1] 已知在区间上的最大值是5，最小值为，求解析式。

解：由，则

令，则在区间上的根为，且

（1）当时，列表如下

		（）	0	（0，1）	1
		+	0	－

函数在处有极大值，又由的单调性，则最大值为，由已知。

而最小值为与的最小者

而，

则，即为最小值

由已知，则，所以

（2）当时，同理可得为最小值，故

的最大值为与的最大者

则为最大值即

则，所以

综上

 

[例2] 已知在区间上，函数的最大值为1，最小值为，并且，求与的值。

解：由，则

令，则，函数在区间上的增减性如下表

			0			（）	1
		+		－		+
			极大		极小

由，则，即

又由，，则

所以，

由已知

解得

注：求闭区间上连续函数的最值问题，须比较极值点与区间端点的函数值的大小。

 

[例3] 已知两个函数，，其中。

（1）对任意都有成立，求的取值范围。

（2）对任意的，都有，求的取值范围。

解：设，则对任意的都有成立等价于函数的最小值发即，其中

，

令，则或，列表如下

					2	（2，3）	3
		+	0	－	0	+

由上表可知

由，可得

（2）对任意，都有成立等价于的最大值不大于的最小值，其中

以下先求的最小值，由，则有

，即

令，则或，列表如下

						（）	3
		+	0	－	0	+
							111

所以

以下再求的最大值

，，利用二次函数的图象性质，可得，于是

即

 

[例4] 用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的柜架，如果所制的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器最大，并求出它的最大容积。

    解：设容器底面边长为，则另一边长为，高为=

由和，得

设容器的容积为，则有（）

整理，得

则，令，有

即，解得，（不合题意舍去）

从而，在定义域（0，1.6）内只有在处使得，由题意，若过小（接近0）或过大（接近1.6）时的值很小，（接近0），因此，当时，取最大值，即

此时，高为，所以，当高为时，容器最大的容积为。

 

【模拟试题】

1. 函数在闭区间上的最大值，最小值分别是（    ）

    A.     B.     C.     D.

2. 函数（为常数）在上有最小值3，那么在上的最大值是         。

3. 设函数=

（1）求的单调区间；

（2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围。

 

 

 

 

【试题答案】

1. C

    提示：先求极值，令，，，，，所以，最大值为3，最小值为。

2. 43

提示：，令，则

当时，，则函数在上单调递增

当时，，则函数在上单调递减

又由，，故

则，所以，，且在上的最大值是

3. 解：

（1），其判别式

当时，由，得或

则的递增区间为

递减区间为

当时，恒成立，则的递增区间为

（2）时，恒成立，因此在上是增函数，从而在（1，2）上递增，则

在恒成立，解得

故的取值范围是