第三章 导数 章节复习

第三章 导数 章节复习

 

二. 本周教学重难点：

 

【典型例题】

[例1] 求下列函数的导数

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：

（1）令

则

（2）∵

∴

（3）

      

      

（4）对于

∵

两边取导数得

∴

∴

（5）∵

∴

 

[例2] 求过曲线上的点，且与过这点的切线垂直的直线的方程。

解：由，得

∴ 曲线在点的切线的斜率是

故所求直线的斜率为

∴ 所求直线的方程为

即

 

[例3] 求函数的单调区间

解：的定义域为

由，得或

由，得或

∴ 的单调增区间是和，单调减区间和

 

[例4] 已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，试求函数的极大值与极小值的差。

解：

由于在处有极值   ∴

即   ①

又 ∵      ∴   ②

由①②得

∴

令，得

由于在，时，

时，

∴ 是极大值，是极小值    ∴

 

[例5] 已知函数在R上是减函数，求的取值范围。

解：求函数的导数：

（1）当时，是减函数

且

所以，当时，由，知是减函数

（2）当时，

由函数在R上的单调性，可知当时，是减函数

（3）当时，在R上存在一个区间，其上有

所以，当时，函数不是减函数

综上所述，所求的取值范围是

 

[例6] 已知函数在处取得极值。

（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；

（2）过点A（0，16）作曲线的切线，求此切线方程。

解：

（1）

依题意，，即

解得

∴ ，

令，得

若，则

故在上是增函数

在上是增函数

若，则

故在上是减函数

所以是极大值，是极小值

（2）曲线方程为

点A（0，16）不在曲线上

设切点为M（），则点M的坐标满足

因，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

化简得，解得

所以，切点为M（），切线方程为

 

[例7] 若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）上为增函数，试求实数的取值范围。

解：函数的导数，令

解得或

当即时，函数在（1，+）上为增函数，不合题意

当即时，函数在（）上为增函数，在（1，）内为减函数，在（，+）上为增函数

依题意应有当时，

当时，0

所以，解得

所以的取值范围是[5，7]

 

[例8] 某厂生产某种产品件的总成本C（）=（万元），又知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？

解：设单价为，由题意，

当时，

∴

∴ ，即

∴ 总利润

令

∴ ，解得

当时，；当时，

∴ 当时，有最大值

答：当产量为25万件时，总利润最大。

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 函数在内（    ）

A. 只有最大值                                 B. 只有最小值

C. 只有最大值或只有最小值            D. 既有最大值又有最小值

2. 已知，函数在上是单调减函数，则的最大值为（    ）

    A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

3. 若函数在处有最值，那么等于（    ）

    A. 2    B. 1    C.     D. 0

4. 设在上可导，且，则当时，有（    ）

A.

B.

C.

D.

5. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（    ）

    A. 3    B. 2    C. 1    D. 0

6. 函数（为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为（    ）

    A.     B.     C.     D. 以上都不对

7. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ）

    A.     B.     C.     D.

8. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A.     B.     C.     D.

 

二. 解答题

1. 已知向量，若函数在区间（）上是增函数，求的取值范围。

2. 已知函数在[2，4]上是增函数，求的取值范围。

3. 已知

（1）求的单调区间和值域；

（2）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围。

 

【试题答案】

一.

1. D

2. C

    解析：由题知，∴ ，又，∴ 的最大值为3

3. A

解析：

由题意，，即    ∴

4. C

解析：因为在[]上可导，且

所以

即有，则有成立，故选C

5. D

解析：，由题意知，即

∴ 不可能为整数，整点个数为0，选D。

6. A

解析：，由，得

而当时，

时，

∴ 当时，取最大值

即=

∴

又，故

7. B

解析：设，则

① 当时，在区间内单调递增，则在上单调递减

即当时恒有

∴

② 当时，在区间上单调递增，则在上单调递增

即当时恒有，与矛盾

③ 当时，符合题意    ∴ ，选B

8. C

解析：用导数法解，先求极值，再求最值，令，得

，

∴ 最大值为3，最小值为

 

二.

1. 解：依定义

则

若在上是增函数

则在上可设

∴ 在区间上恒成立

考虑函数，由于的图象是对称轴为且开口向上的抛物线，故要使在区间上恒成立，即

而当时，在上满足

即在上是增函数

故的取值范围是

2. 解：令   ∵

在[2，4]上有意义且

∴ ，即

∵ 在[2，4]上为增函数及

∴ ，或在[2，4]上恒成立

∴ 或

解得或，又   ∴

即的取值范围为（）

3. 解：

（1）对函数求导，得

，解得或

当变化时，的变化情况如下表：

	0	（0，）		（，1）	1
		－	0	+

所以，当时，是减函数

当时，是增函数

当时，的值域为

（2）对函数求导，得

因为，当时，

因此当时，为减函数

从而当时，有

又，，即当时有

任给，

存在使得，则

即

解①式得或    解②式得

又，故的取值范围为