函数的奇偶性

函数的奇偶性

1. 概念

一般地，对于函数

（1）如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数。

（2）如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。

注：

① 函数为奇函数或偶函数的一个必要条件是函数的定义域关于原点对称

② 对于与应从数形两方面理解

点的对称性，即函数图象的对称性

P与均在图象上

③ 刻画的为函数的整体性质

2. 奇偶性的性质

（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图象关于原点成中心对称图形，那么此函数是奇函数。

证（）设函数是奇函数，则，在函数图象上任取一点P（），则即也是图象上一点，而是P关于原点O的对称点，所以函数图象上任意一点关于原点的对称点都在图象上，即的图象关于原点成中心对称

（）设图象成中心对称，在图象上任取一点P（），则P关于原点的对称点（）也在上

∵ 时，而函数值是唯一的，∴

由的任意性知，在的定义域内有，故为奇函数

（2）偶函数的图象关于轴成轴对称图形，反过来，若一个函数的图象关于轴成轴对称图形，则此函数是偶函数。证明略。

（3）如果和都是奇（偶）函数，则函数也是奇（偶）函数

证：设，都是奇函数，设

∵ 和都是奇函数  

∴

（都是偶函数同理可证）

推论：

① 两个奇（偶）函数的和与差都是奇（偶）函数

② 奇（偶）函数与常数之积是奇（偶）函数

③ 两个非零的一奇一偶函数之和既非奇函数又非偶函数

对③设奇函数，偶函数，令

（反证）若是奇函数，则是奇函数而与是偶函数矛盾，若是偶函数，则是偶函数与是奇函数矛盾，但非奇非偶函数的和、差、积、商可能是奇或偶函数，如，，偶，奇，偶

（4）奇偶性相同的两个函数之积（商）为偶函数，而奇偶性相异的两个函数之积（商）为奇函数（证略）

（5）函数既是奇函数又是偶函数的充要条件是

证：既奇又偶且

，且定义域关于原点对称，非恒为0函数，是奇则必非偶，是偶则必非奇。

（6）如果定义在A上的奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数

证：设的值域B，则即的定义域，设，则有唯一的，使得，从而有，又因是奇函数，所以，从而有且有，即

是奇函数。

（7）定义在对称区间内的任何函数都可表示成一个偶函数与一个奇函数之和。

证明：对于，令，

则，而，

即与分别为偶函数和奇函数，故命题得证

（8）在复合函数中

① 若为偶函数，则为偶函数

② 若为奇函数，为偶（奇）函数，则是偶（奇）函数（证明略）

  3. 函数奇偶性的判定方法：

（1）定义法：或，1（）

（2）图象法

（3）性质法

（1）定义法

[例1] 判断下列函数的奇偶性，并予以证明。

（1）      （2）

证明：（1）的定义域，关于原点对称

不妨取两个特殊值，，猜想是奇函数

       

∴ 是奇函数

有时证明较繁，可变通证等价命题

              

∴       ∴ 是奇函数

（又如证为奇函数，利用简单）

证（2）令，即两边平方得

经检验

故方程在实数范围内无解，即对任意，于是定义域为R

（或利用）

     

，故是定义在R上的奇函数

利用

  

∴ ，即是奇函数

 

[例2] 判定下列函数的奇偶性

（1）          （2）

解：（1）定义域为R，关于原点对称，当时，，则

当时，

当时，

则

故，所以是R上的奇函数

（2）定义域为关于原点对称

当时，，则

当时，，则

综上，故是上的奇函数

另法利用图象

    

 

[例3] 已知函数满足① ，②  ，③  ，（1）判断的奇偶性，（2）证明是周期函数，（3）求证，对，有恒成立。

分析：类比三角中的和差化积公式，可猜想与相当，易知它为偶函数，周期为，且

证明：（1）令，，则由（1）可得

又令，可得    ∵     ∴

代入上式得，即，为偶函数

（2）令，，由（1）得（*）

再令，，由（1）得

又由（1），，即

∴ ，即（**）

由（*）和（**）可得，即是以为周期的周期函数

（3）由得得证

 

[例4] 设函数定义在上且对任意都有

（*），试证是偶函数。

证明：令，，则（*）即

再令，由（*）得

令，由（*）可得即

所以，故得证

 

[例5] 对任意实数，有，，则函数（    ）

A. 必是奇函数                                        B. 必是偶函数

C. 可以是奇函数也可以是偶函数            D. 不能判定奇偶性

解：选C

设，则

令，得

令，得

故或

 

[例6] 对任意实数，有，则函数（    ）

A. 必是奇函数                                         B. 必是偶函数

C. 可以是奇函数也可以是偶函数             D. 不能判定奇偶性

解：选A

因对任意实数都成立，特别地对，取，得，若取，则

∴      ∴ ，即为奇函数

 

4. 函数奇偶性的应用

[例7] 已知函数为定义在R上的奇函数，如果在上是增函数，则在上也是增函数。

证明：设，则

由在上单增，有   又由为奇函数

所以   即，故函数在上是增函数

 

[例8] 已知定义在R上的函数是奇函数，当时，。（1）求在R上的解析式；（2）讨论函数的单调性。

解：（1）若，则

若，则由，有

即，所以在R上的解析式为

（2）其图象如下

由二次函数性质可知在区间与上是增函数，在区间与上是减函数。

 

[例9] 解方程

解：令，则原方程可化为

即（*）

设，则为奇函数，从而（*）化为

即

又由在R上为增函数，所以，即

又由，所以原方程的解为

解法二：

令，，

原方程        

  

[例10] 已知函数是偶函数，且在上是增函数，试求函数的单调区间。

解：令，，则

由是偶函数且在上单增，则在上单减

又由在上单增，在上单减，以及

，或

列表如下

区间 单调性 函数
	+	+	－	－
	－	+	+	－
	－	+	－	+

所以由复合函数单调性结论知在与上是减函数，在与上是增函数。

注：是偶函数，如在上增，则必在上减

略证任取

故在上单减

 

[例11] 已知是定义在上的奇函数，且在上是的一次函数在上是的二次函数。当时，，，试求的解析式。

分析：由于在上是奇函数，故可以把定义域分为两个区间，进行讨论，又由在上是分段定义的，即分为，，故又要把分为两个区间讨论，再由奇函数概念，对也得分，两段讨论，因此对已知区间应划分为四个区间讨论，考虑到函数分段定义，我们对划分的四个区间，都用闭区间讨论。

当时，因在上是的二次函数且

∴（5，3）是该二次函数图象的顶点坐标，设此二次式为

又由     ∴

故   由此可求得

当时  ∵ 在上为奇函数，故

又∵ 及在上为的一次式

∴     

再由奇函数定义知，时，

时，

综上，

 

【模拟试题】

1. 构造一个满足下面三个条件的函数实例，

①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0；         ．

2. 函数F（x）＝（1＋2/（2^x-1））f（x）（x≠0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（    ）

A. 是奇函数                                        B. 是偶函数     

C. 既是奇函数，又是偶函数        D. 非奇非偶函数

3. 已知函数f（x）＝x²＋lg（x＋），若fA. ＝M，则f（-a）等于（     ）

A. 2a²-M         B. M-2a²           C. 2M-a²            D. a²-2M

4. 若对正常数m和任意实数x，等式成立，则下列说法正确的是 （    ）

A. 函数是周期函数，最小正周期为2m

B. 函数是奇函数，但不是周期函数

C. 函数是周期函数，最小正周期为4 m

D. 函数是偶函数，但不是周期函数      

5. 已知f（x） 是奇函数，且当x?（0，1）时，f（x）＝ln（1/（1＋x）），那么当x?（-1，0）时，f（x）＝             ．

6. 判断下列函数的奇偶性

①；       ②；

③；       ④．

7. 已知，，求．

【试题答案】

  1.

  2. A

  3. A

  4. C

  5.

6. 解：①定义域关于原点对称，且，奇函数．

②定义域为不关于原点对称。该函数不具有奇偶性.

③定义域为R，关于原点对称，且，，故其不具有奇偶性．

④定义域为R，关于原点对称，

当时，；

当时，；

当时，；故该函数为奇函数．

  7. 解：已知中为奇函数，即＝中，也即，，得，．