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函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数． 二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； 3、可逆性： 4、等价性： 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 三、关于奇偶函数的图像特征 一般地： 奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） 偶函数的图像关于 即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。） 偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。 2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M. (2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 五、关于函数奇偶性的简单应用 1、函数的对称性 如果函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线⑮______对称． 一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的对称轴方程是⑯______. 两个函数 2、函数的周期性 函数的周期性的定义：设函数y＝f(x)，x∈D，若存在非零常数T，使得对任意的x∈D都有⑰________，则函数 f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期． (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (3)周期函数不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也一定是f(x)的周期． 若函数f(x)对定义域中任意x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，它的一个周期是⑱________.若 六、函数的奇偶性的判断 函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。 判断函数奇偶性的方法： （1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查 1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数； 若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系 若 若 2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则． 3．由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其 对称区间上的性质． 4．若T是f(x)的一个周期，则kT(k≠0，k∈Z)也是f(x)的周期． 5．(1)若函数f(x)存在两条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数；若函数f(x)具有奇偶性，又 有一条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数． 6．注意函数性质的逆向应用． （2）、图像法： f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y） （3）、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断 函数奇偶性。 （4）、性质法 （5）、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 1)若f(x)与g(x)都是奇函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上， f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)都是奇函数，f(x)·g(x)与为偶函数． 2)若f(x)与g(x)都是偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上， f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，都是偶函数． 3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数； 4)若f(x)与g(x)中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上， f(x)·g(x)，都为奇函数． 3．若y＝f(x)为奇函数，且y＝f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 性质 1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。 2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 3、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数 若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数 若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数 5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称 案例分析： 考点一、判断函数的奇偶性 例1．判断下列函数是否是偶函数．（1） （3）f (x) = x + x3 +x5； （4）f (x) = x2 +1； （7）f (x) = 0. 变式训练 1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x) = x (x + 1)； 2、下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图像一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0； ③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)． A．1 B．2 C．3 D．4 考点二、分段函数的奇偶性 解析：分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义． 例1、判断下列函数的奇偶性： ① ② 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察 解：（1） （2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上， 例2、判断函数f(x)＝的奇偶性． 思路点拨：分x＞0或x＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 解：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ①当x＞0时，－x＜0， 则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)． ②当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1 ＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)． 由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时， 都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定． 1、如果函数f(x)＝，其奇偶性怎样？ 解：当x＞0时，f(x)＝x3－3x2＋1，－x＜0，f(－x)＝－(－x)3－3(－x)2＋1＝x3－3x2＋1＝f(x)． 当x＜0时，f(x)＝－x3－3x2＋1.－x＞0，f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝f(x)． 综上可得f(－x)＝f(x) ∴f(x)为偶函数． 考点二、利用奇偶函数图像的对称性质
偶函数的图像关于y轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 由奇函数的定义可得： 奇函数的图像关于原点对称，反过来， 若一个函数的图像关于原点对称，则这个 函数是奇函数
例2．如图，给出了奇函数y = f (x)的局总图象，求f (– 4).
例3．如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3)  1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( ) A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f()) 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a，－f(a))． 答案：C 2．若函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的两个交点关于y轴对称，若一根为x1，则另一根必为－x1，故f(x)＝0的所有实根之和为0. 答案：C 3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( ) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)． 又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，∴f(7)＝－2，故选A. 答案：A 考点三、根据奇偶性求函数解析式 例3、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式． 分析：由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数． 解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∵当x<0时，－x>0，∴f(x)＝－f(－x)＝－2x2＋3x＋1. 又∵奇函数f(x)在原点的定义，f(0)＝0. ∴f(x)＝ 1、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 [解析] 本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法．f(1)＝－f(－1)＝－[2(－1)2－(－1)]＝－3， 故选A. 2、已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，求当x∈(－∞，0)时f(x)的解析式． 解：设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)．由已知得f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)． ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－)． 即f(x)＝x(1－)，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式为f(x)＝x(1－)． 考点三、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围 例1、已知函数的定义域为 （1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3） 求 1、设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 分析：利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f”，转化为关于m的不等式(组)． 解∵f(x)在[－2,2]上为奇函数，且在[0,2]上单调递减，故f(x)在[－2,2]上为减函数，又f(1－m)<f(m)． ∴ 即解得－1≤m<. 变式体验1 如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，那么f(x)在x∈[3,5]上是( ) A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4 C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4
解析：作一个符合条件的函数的简图．观察图形，可知f(x)在[3,5]上是增函数，且最小值为4. 答案：B 变式训练： 1、已知奇函数在R上单调递增，且 A. 2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R C．y＝x，x∈R D．y＝x，x∈R 4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数 5．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝______. 考点五、函数奇偶性的证明、奇偶函数的单调性 例1、已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若- 解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数. （2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x- ∵a≤ 从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1. 当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+ ∵a≥- 最小值为f(a)=a2+1. 综上得，当- 例2、已知f(x)＝是奇函数． (1)求a、b的值； 解：(1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即－＝0恒成立， 则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立．∴a＝b＝0. 考点五、函数奇偶性的简单应用 例1、若f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f(x)在(－∞，0)上的最小值． 分析：注意到g(x)＝x5＋ax3＋bx是奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0. 解：当x>0时，f(x)≤8，则当x<0时，－x>0，f(－x)≤8，设x∈(－∞，0)，则 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3 ＝－[(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＋3]＋6 ＝－f(－x)＋6≥－8＋6＝－2. 所以f(x)在(－∞，0)上的最小值是－2. 1、已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝ 1 ； 解：(1)因为f(x)与g(x)都是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)， 所以F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋3＋a[－f(x)]＋b[－g(x)]＋3＝6， 所以F(x)＝6－F(－x)， 所以F(2)＝6－F(－2)＝6－5＝1. 2、已知函数f(x)＝x3＋sinx的定义域为(－1,1)，则满足不等式f(a2－1)＋f(1－2a)<0的a的取值范围是 (0,1) . 解：因为f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)是奇函数，且单调递增，所以f(a2－1)＋f(1－2a)<0，即f(a2－1)<f(2a－1)．
1、设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x＝ 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
2、定义在{x|x∈R，x≠1}上的函数f（x）满足f（1-x）=-f（1+x），当x＞1时，f(x)＝
3、设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰有6个不同的实数根， 则这6个实数根的和为
4、设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数y=f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点 的和为
5、函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x）， f（1+x）=-f（x），则f（x）是（ ） A．奇函数但非偶函数 B．偶函数但非奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
考点六、抽象函数奇偶性的判断 例1、已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数． 证明 设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0. 又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． 变式迁移3 证明 令x1＝0，x2＝x， 则得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)① 又令x1＝x，x2＝0，得 f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)② 由①、②得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． 例2、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)， (1)求f(0)、f(1)的值． (2)证明f(x)为奇函数． 解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0. 令a＝b＝1，∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0. (2)证明：∵a，b∈R，∴可赋a、b为某些特殊值． 令a＝b＝－1，则f(－1)＝0. ∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0， ∴f(x)为奇函数． 1、已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)． 分析：判定函数的奇偶性应凑f(－x)的形式，令y＝－x即可． 解：(1)证明：由题意知，f(x)的定义域是R，它关于原点对称．在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中， 令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)；令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0. 把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得 f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数． (2)解：由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a. 例3、已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). （1）求证：f(x)是奇函数； （2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=- （1）证明： ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. （2）解：方法一 设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0, ∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x). ∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0， ∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)=- ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R. 则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减. ∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=- ∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3. ∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 考点七、函数的周期性及应用 例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)． 解：(1)因为y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)． 因为f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数． (2)因为x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. 设x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，又f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2. 当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， 所以f(x)＝f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2＝2x－8＋x2－8x＋16＝x2－6x＋8. 即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)由x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，可得f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， 又x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8，可得f(3)＝－1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，而f(x＋4)＝f(x)， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]×503＝0. 1、设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：①f(x)＝f(2－x)；②当0≤x≤1时，f(x)＝x2. (1)判断函数f(x)是否是周期函数； (2)求f(5.5)的值．
例2、已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是周期函数； (2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的个数． (1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数． (2)解 当0≤x≤1时，f(x)＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1， ∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)． 又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝(x－2)． 又∵f(x)是以4为周期的周期函数 ∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，∴f(x)＝－(x－2)(1<x<3)． ∴f(x)＝ 由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)． 令0≤4n－1≤2 014，则≤n≤.又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)， ∴在[0,2 014]上共有503个x使f(x)＝－. 考点八、函数性质的综合应用 例1、定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x、y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)且f(0)≠0. (1)求证：f(0)＝1； (2)判断y＝f(x)的奇偶性； (3)若存在正常数C，使f()＝0. ①求证：对任意x∈R，有f(x＋C)＝－f(x)成立； ②试问函数f(x)是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由． 分析：(1)用赋值法；(2)依题设构造f(－x)与f(x)的关系；(3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论． 解 ：(1)证明：令x＝y＝0，则2f(0)＝2f2(0)． 又f(0)≠0，所以f(0)＝1. (2)令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)， 所以f(y)＝f(－y)，即f(x)＝f(－x)， 又x∈R，所以f(x)为偶函数． (3)①证明：用x＋，(C>0)替换x，y，则f(x＋＋)＋f(x＋－)＝2f(x＋)·f()． 又f()＝0，所以f(x＋C)＋f(x)＝0，即f(x＋C)＝－f(x)； ②由①的结论知f(x＋2C)＝－f(x＋C)＝f(x)(C>0)， 所以f(x)是周期函数，2C就是它的一个周期． 点评：特殊值法是解决抽象函数问题常用的有效方法，通过所给关系式，对其中的变量进行有效赋值，注意借助具体模 型思考，联系解题目标赋值． 1、设f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝g(2－x)，且当x∈[2,3]时，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)3. (1)求f(x)的表达式； (2)是否存在正实数a(a>6)，使函数f(x)的图象最高点在直线y＝12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在， 请说明理由． 【解析】(1)当x∈[－1,0]时，2－x∈[2,3]， f(x)＝g(2－x)＝2a(－x)－4(－x)3＝4x3－2ax， 因为y＝f(x)在[－1,1]是偶函数， 所以当x∈[0,1]时，f(x)＝f(－x)＝－4x3＋2ax. (2)命题等价于f(x)max＝12，由于f(x)为偶函数，故只需考虑0≤x≤1的情况．f ′(x)＝－12x2＋2a (0≤x≤1，a>6)． 由f ′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)． 因为>1，所以当0≤x≤1时，f ′(x)>0， 即f(x)在[0,1]上单调递增． 所以f(x)max＝f(1)＝12，所以a＝8. 综上，存在a＝8使得f(x)的图象的最高点在直线y＝12上． 巩固练习： 1、f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)等于 ( )． A．－5 B．－6 C．－ D．－ 解析 f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝， ∴f(log6)＝－. 答案 D 2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是 ( )． A． 解析 当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|， 显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f. 答案 A 4．已知函数f(x)＝则该函数是 ( )． A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减 C．奇函数，且单调递增 D． 奇函数，且单调递减 解析 当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数． 答案 C 1．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则 ( )． A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数 解析 由已知条件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．则f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函数f(x＋3)也是奇函数． 答案 D 2．设函数D(x)＝则下列结论错误的是 ( )． A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 解析 显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误． 答案 C 3．f(x)＝2x＋sin x为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是 ________. 解析 f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－a)<f(2a－1)等价于解得<a<1. 答案 4．若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，则下列结论：①f(x)的图象关于点 解析 由函数为奇函数且满足f(1＋x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，又f＝－f，f＝f，所以②③正确． 答案 ②③ 5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 解析 由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0. 答案 0 6．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. 解析 因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 答案 －1 三、解答题(共25分) 7．(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)． (1)求f(1)，f(－1)的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性． 解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0. (2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数． 8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解 由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)， 因此f(1－m)<f(m)等价于 解得：<m≤2. 因此实数m的取值范围是. 5．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a的取值范围． 解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}， 当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0) 显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a， 因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)， 所以函数f(x)＝x2＋既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f′(x)＝2x－＝， 当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数， 当a>0时，由f′(x)＝>0， 解得x> ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数， 可知 ≤2.解得0<a≤16. 综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]． 4．设 在 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4. A 5．已知函数 则 A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数 C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数 5. D 或当 当 7. 已知幂函数
6．已知函数f(x)＝，若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，0] B．[0,1) C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
答案：C 24．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，则f（1）的值（ ） A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负 6．已知函数f(x)在(－1,1)上有定义， (1)f(x)为奇函数； (2)f(x)在(－1,1)上单调递减． 证明 (1)函数f(x)的定义域为(－1,1)， 再由f(x)＋f(y)＝ 令x＝y＝0，得f(0)＝0， 令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0， ∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数． (2)先证f(x)在(0,1)上单调递减．令0<x1<x2<1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f. ∵0<x1<x2<1，∴x2－x1>0,1－x1x2>0， 即>0. 又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0， ∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1. 由题意，知f<0，即f(x2)<f(x1)， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，又f(x)为奇函数且f(0)＝0， ∴f(x)在(－1,1)上单调递减. |
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是偶函数；
；
；
轴对称；
