不等式（一）

不等式（一）

 

二. 知识讲解：

有关《不等式》的中等问题（中档题）主要是考查各类不等式的解法。

从涉及题目的类型来看，有整式不等式，分式不等式，含有绝对值符号的不等式，对数不等式等等。

从解题方法看，主要有因式分解法、换元法等等。

从数学思想来看，主要是转化思想和分类讨论的思想。

例如对数不等式的解法，就是利用转化的数学思想，结合对数函数的单调性，把它转化为我们所熟悉的代数不等式，只要我们充分注意转化过程中的等价性，完全可以掌握这类问题的解法。

分类讨论的思想在不等式的解法中频频出现。比如对数式的底数中字母的取值就影响到函数的增减性，需要分类讨论；含有绝对值符号的不等式在去掉绝对值符号时，需要对绝对值符号内的解析式的取值进行讨论。

有一些应用问题中间也涉及到一些不等式的解法，在依据题意建立了数学模型之后，主要的任务就是解一个不等式，关于这个不等式的解，除去上面提到的注意事项之外，特别要注意实际问题对未知数取值的限制，把这种限制与不等式的解集取交集得到的才是问题的正确解答。

 

【典型例题】

[例1] 解不等式。

解：令，则或

（1）当或时，原不等式化为

∴     ∴

（2）当时，原不等式化为  

∴ 或     ∴

综合（1）、（2）知，原不等式的解集为

 

[例2] 解关于的不等式：（）

解：原不等式等价于：

（1）若，或，不等式的解集为空集

（2）若，即时，不等式解集为

（3）若，即或时，不等式的解集为

综上知：或时，解集为空集；时，解集为｛｝；或时，解集为｛｝。

 

[例3] 解关于的不等式：

解：原不等式变形为：   ∴

∴    等价于

（1）若，   ∴

（2）若，原不等式化为

（3）若，原不等式化为

∴ 或   综上，时，

时，；时，或

 

[例4] 已知关于的不等式的解集为M；

（1）当时，求集合M；

（2）若，求实数的取值范围。

解：（1）当时，原不等式可化为：

即  

∴ M为

（2）由于   即

∴ 或   ∴ 的取值范围是

 

[例5] 解关于的不等式：。

解：原不等式变形为：

（1）时，

（2）时，不等式变形为

当时，或   当时，

当时，，当时，

综上，时，    时，或

时，   时，

时，

 

[例6] 解关于的不等式：

解：原不等式化为  

即    当时，

此时不等式的解集为

当时，不等式无解

当时，，此时不等式的解集为

综上，时，

时，无解；时，

 

[例7] 已知函数

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）解不等式：。

解：

（1）∵

∴ 是奇函数

（2）∵

∴

由<1>、<2>解出   <4>

由<3>得，，

   ∴ 或  <5>

取<4>、<5>的交集，不等式的解集为

 

[例8] 已知，设P：函数在R上单调递减，Q：不等式的解集为R。如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围。

解：函数在R上单调递减

不等式的解集为在R上恒大于1

∵

∴ 函数在R上的最小值为

∴ 不等式的解集为R

如果P正确，且Q不正确，则

如果P不正确，且Q正确，则

∴ 的取值范围为

 

[例9] 解关于的不等式：（且）

解：令

原不等式化为  *

等价于

由（3）得    即10

解得或（4）

由（1）、（2）得（5）

∴ *的解为    ∴

① 当时，

② 当时，

综上，原不等式的解为时，

时，

 

[例10] 解关于的不等式：

解：由，得①

设，则①式变为

解得或     即或

∵     ∴     ∴ 原不等式等价于或

∵     ∴      ∴ 或

∴ 当时，原不等式的解集为：

 

【模拟试题】

1. 已知，不等式对一切实数都成立}，那么下列关系中成立的是（    ）

    A.     B.     C.     D.

2. 不等式的解集为，则的值为        。

3. 不等式对任意实数都成立，则的取值范围是（    ）

A. 或                          B. 或

C.                                     D.

4. 若不等式的解集为，求不等式的解集。

5. 若不等式组的整数解只有，试求的取值范围。

6. 解关于的不等式。

7. 解关于的不等式。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

1. A    2. 或    3. C

4. 提示：的二根为2，3    ∴

∴ 化为    ∴

5. 解：由（1）得或   由（2）得

① 当，

② 当，

③ 当时，无解

因为不等式组的整数解只有，则

只有②这种情况即   不等式组只有整数解

则     ∴

6. 解：

① 当时，原不等式的解集为

② 当时，原不等式的解集为

③ 当时，原不等式的解集为

④ 当时，不等式无意义

⑤ 当时，原不等式的解集为

7. 解：（1）当时，原不等式化为    ∴

（2）当时，原不等式化为（*）

① 当时，（*）化为

<1> 当时，   ∴

<2> 当时，无解

<3> 当时，   ∴

② 当时，（*）化为    ∴ 或

综上以上，得当时，原不等式的解集为

当时，原不等式的解集为

当时，原不等式的解集为

当时，原不等式的解集为

当时，原不等式的解集为