函数的奇偶性、单调性、周期性

函数的奇偶性、单调性、周期性

 

二. 教学重、难点：

了解函数奇偶性、单调性、周期性的概念，了解周期函数最小正周期的意义，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，能利用函数的单调性解决函数的有关问题。

 

【典型例题】

[例1] 定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。

（1）求和的值；

（2）试判断的奇偶性，并加以证明；

（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。

解析：

（1）令，得    ∴

令，得

∴

（2）令，由，得

又   ∴

又 ∵ 不恒为0      ∴ 为偶函数

（3）由

知   又由（2）知

∴    又 ∵ 在上为增函数

∴

故的取值集合为

 

[例2] 设函数在上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有。

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。

解析：

（1）由，得函数的对称轴为

∴

而，即不是偶函数

又 ∵ 在[0，7]上只有   ∴

从而知函数不是奇函数

故函数是非奇非偶函数

（2）

从而知函数的周期为T=10

又

∴

故在[0，10]和上均有2个根，从而可知函数在[0，2000]上有400个根，在[2000，2005]上有2个根，在上有400个根，在上没有根。

∴ 函数在上有802个根。

 

[例3] 函数是以4为周期的周期函数，且当时，，则当时，试求的解析式。

解析：因为是以4为周期的函数，所以，（1）当为奇数时，为4的倍数。

当时，，所以，于是有。

（2）当为偶数时，可以知道为4的倍数，当时，有，于是

从而有

当时，有

于是有，所以

综合（1）（2）可以得到：当为奇数时，，

当为偶数时，

 

[例4] 定义在R上的函数，，当时，，且对任意的，有。

（1）证明；

（2）证明对任意的，恒有；

（3）证明是R上的增函数；

（4）若，求的取值范围。

解析：（1）证明：令，则

又   ∴   

（2）证明：当时， 

∴      ∴

又时       ∴ 时恒有

（3）证明：设，则     

∴

∵     ∴

又    ∴

∴     ∴ 是R上的增函数

（4）由，，得

又是R上的增函数     ∴      ∴

 

[例5] 已知函数，其中，为自然对数的底数。

（1）讨论函数的单调性；

（2）求函数在区间[0，1]上的最大值。

解析：（1）

① 当时，令，得

若，则，从而在（0，+）上单调递增

若，则，从而在（）上单调递减

② 当时，令，得，故或

若，则，从而在（）上单调递减

若，则，从而在（0，）上单调递增

若，则，从而在（）上单调递减

（2）① 当时，在区间上的最大值是1

② 当时，在区间[0，1]上的最大值是

③ 当时，在区间[0，1]上的最大值是

 

[例6] 是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数？

解：方法一：设，则原函数转化为

那么问题就等价于是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数，根据二次函数的性质，知只需，即。

方法二：由题意知为函数的一个极值点

∵

由，得，此时，

故当时，，为减函数；当时，，为增函数

∴ 适合题意

方法三：任取，则

由在上是减函数可知，对任意的，恒成立

∴ 有恒成立，即恒成立

    ∴

因此，当时，恒成立，

即当时，函数在上是减函数

仿上可得当时，函数在上是增函数

故存在常数，使函数在上是减函数，且在上是增函数

 

[例7] 设函数的图象上一点P（）处切线的斜率为。

（1）若方程有两个实根分别为，且，求证：

（2）若在区间上是单调递减函数，求的最小值。

分析：根据导数的几何意义知

（1）证明：由已知得是方程的两个实根

根据韦达定理得

又 ∵     ∴

∴    ∴

（2）解：在区间[上是单调递减函数

∴ 在上恒有，即恒成立

从而

当时，的最小值为13

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则等于（    ）

    A. 0    B.     C. 4    D. 不能确定

2. 设函数是定义在R上，周期为3的奇函数，若，则（    ）

A. 且                         B.

C. 或                          D.

3. 设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，

，且，则不等式的解集是（    ）

A.                   B.

C.                D.

4. 设是定义在R上以6为周期的函数，在（0，3）内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（    ）

A.

B.

C.

D.

5. 对任意实数，定义为不大于的最大整数（例如等），设函数，给出下列四个结论：① ；② ；③ 是周期函数；④ 是偶函数，其中正确结论的个数是（    ）

    A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

6. 若，，定义：，例如

。则函数的奇偶性是（    ）

A. 是偶函数不是奇函数

B. 是奇函数不是偶函数

C. 既是奇函数又是偶函数

D. 既不是奇函数又不是偶函数

7. 函数（    ）

A. 在上递增，在上递减

B. 在上递增，在上递减

C. 在，上递增，在上递减

D. 在上递增，在上递减

8. 若函数在区间内恒有，则的单调递增区间为（    ）

A.     B.     C.     D.

 

二. 解答题：

1. 函数对任意的，都有，并且当时，。

（1）求证：是R上的增函数；

（2）若，解不等式

2. 设函数是定义在R上的偶函数，并在区间上单调递增，

，当取何值时，函数是单调递减函数？

3. 设函数是奇函数，（，都是整数），且，在上单调递增。

（1）求的值；

（2）当时，的单调性如何？证明你的结论。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. A

    解析：由题意知，又周期为4，因此，综上，可知

2. C

    解析：由题意分析知，又函数的周期为3，所以，则由，求得或。故选C。

3. D

解析：令

∵ 分别是奇函数、偶函数

∴ 为奇函数

又，即在上为增函数

又    ∴    ∴

又在上也是增函数

故的解集为

4. B

解析：在R上以6为周期，对称轴为，且在（0，3）内单调递减，

，

∵     ∴

即

5. C

解析：由题意有   ∴ ，且

∴ ①②正确

∵

∴ 为周期函数

∵

∴ 不是偶函数，故选C。

6. A

解析：∵

              

∴ ，即为偶函数

7. A

解析：是分段函数

在一、二象限，单调递增；在三、四象限，

递减

  8. D

解析：设，当时，，而此时恒成立

∴

，则减区间为

而必然有，即或

∴ 的单调增区间为

二.

1. 解析：

（1）设，且，则  ∴

 

 

∴ ，即是R上的增函数

（2）

∴    ∴ 不等式即为

∵ 是增函数

于是有，解之，得

2. 解析：∵ 是偶函数且在上单调递增

∴ 在上单调递减

又 ∵

∴

即

若使是单调递减函数，据复合函数的单调性知需求的单调区间，而当时，单调递增

∴

3. 解析：

（1）由，得    由，得

∵ 为奇函数，故的定义域关于原点对称

又的定义域为（显然，否则为偶函数）

∴ ，即

于是得，且，

∴     ∴     又    ∴     ∴

故，，符合在上单调递增

（2）由（1）知，

当时，取得极值，此时

又 ∵ 0    ∴

∴ 的增减性在处转折

当时，

显然

∴     ∴ 为减函数

综上所述，在上是增函数，在上是减函数。