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上海市嘉定区2012届高三下学期第三次模试考试
数学试卷（文科）
(2012年5月14日)
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题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
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1—14 |
15—18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
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得 分 |
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考生注意：本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．设集合 ， ，则 ___________．
2．设 、 ， 为虚数单位，若 ，则复数 的模为______．
3．函数 的最小正周期为_____________．
4．函数 （ ）的反函数 _____________．
5．系数矩阵为 ，解为 的一个线性方程组是_______________．
6．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为_____________．
7．若一个圆锥的主视图是边长为 的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_____________．
8．若 ， ， 成等比数列，则函数 的图像与 轴交点的个数为_______．
9．设 则不等式 的解集为______________________．
10．执行如下图所示的程序框图，那么输出的 值为_____________．
11．已知动圆圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必过定点________________．
12．从 名男生和 名女生中选出 人参加交通安全志愿者活动，则选出的 人中既有男生又有女生的概率是____________．
13．实数 、 满足 如果目标函数 的最小值为 ，则实数 的值为_________________．
14．已知函数 ，点 为函数 图像上横坐标为 （ ）的点， 为坐标原点，向量 ．记 为向量 与 的夹角，则 ___________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
15．“ ”是“ ”的…………………………………………（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
16．下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
17．如图，四棱锥 的底面是 的菱形，且 ， ，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面 平行）可能是…………………（ ）
A． B． C． D．
18．若对于任意实数 ，关于 的方程 恒有解，则实数 的取值范围是……………………………………………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，在正三棱柱 中， ， ．
（1）求三棱柱 的表面积 ；
（2）设 为棱 的中点，求异面直线 与 所成角的
大小（结果用反三角函数值表示）．
解：（1）
（2）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在平面直角坐标系 中， 、 分别是椭圆 的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于 、 两点，其中 在第一象限．过点 作 轴的垂线，垂足为 ．设直线 的斜率为 ．
（1）若直线 平分线段 ，求 的值；
（2）当 时，求点 到直线 的距离．
解：（1）
（2）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，角 的始边 落在 轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点 、 （ ），△ 为等边三角形．
（1）若点 的坐标为 ，求 的值；
（2）设 ，求函数 的解析式和值域．
解：（1）
（2）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设向量 ， （ ），函数 在 上的最小值与最大值的和为 ，又数列 满足 ， ．
（1）求证： ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，试问数列 中，是否存在正整数 ，使得对于任意的正整数 ，都有 成立？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）
（2）
（3）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知函数 （ ），其中 、 为实常数．
（1）若方程 有且仅有一个实数解 ，求 、 的值；
（2）设 ， ，写出 的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；
（3）若对任意的 ，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
解：（1）
（2）
（3）
上海市嘉定区2012届高三下学期第三次模试考试数学试卷（文科）
参考答案与评分标准
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1． ；2． ；3． ；4． （ ）；5． ；
6． 或 ；7． ；8． ；9． ；10． ；11． ；
12． ；13． ；14． ．
二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．B；16．C；17．B；18．C．
三．解答题
19．（第1小题5分，第2小题7分，满分12分）
（1） ，……（1分） ． ……（3分）
所以 ． ……（5分）
（2）取 中点 ，连结 、 ．
因为 ∥ ，所以 就是异面直线 与
所成角（或其补角）．……（7分）
在△ 中， ， ，
．…………（11分）
所以异面直线 与 所成角的大小为 ．…………（12分）
20．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）
（1）由题设知， ， ，故 ， ，所以线段 中点的坐标为 ．………………（3分）
由于直线 平分线段 ，故直线 过线段 的中点，又直线 过坐标原点，
所以 ．…………（6分）
（2）当 时，直线 的方程为 ，由 解得 ，…（8分）
从而 点的坐标是 ， 点的坐标为 ，……（10分）
于是 点的坐标为 ．…（11分）所以直线 的方程为 ．…（12分）
所以点 到直线 的距离为 ．…………（14分）
21．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）
（1）由题意， ，因为点 的坐标为 ，
所以 ， ，…………（3分）
所以 ．…………（6分）
（2）解法一：在△ 中，由余弦定理，
，……（7分）
所以 ．…………（10分）
因为 ，所以 ，……（11分）
所以 ．…………（13分）
因此，函数 （ ）， 的值域是 ．（14分）
解法二：由题意， ， ，……（7分）
所以 ……………………………………（10分）
因为 ，所以 ，…（11分） 所以 ．（13分）
所以，函数 （ ）， 的值域是 ．（14分）
22．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）
（1）由已知， ……（2分）
而函数 在 上是增函数，……（3分）
所以 ．……（4分）
（2）因为 ，
所以 （ ），………………（6分）
两式相减，得 （ ．…………（8分）
所以，数列 的通项公式为 …………（10分）
（3）因为 ， （ ），……（12分）
由题意， 为 的最大项，则 ，
要使 为最大值，则 ……（13分）
即 ……（14分）
解得 或 ． …………（15分）
所以存在 或 ，使得 对所有 成立．…………（16分）
23．（第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分，满分18分）
（1）由已知，方程 有且仅有一个解 ，
因为 ，故原方程可化为 ，…………（1分）
所以 ，…………（3分）解得 ， ．……（5分）
（2）当 ， 时， 在区间 上是减函数，在 上是增函数．
…………（7分）（每个区间1分）
证明：设 ，且 ，
，
因为 ，且 ，所以 ， ，即 ，
所以 ．………………（10分）
所以 在 上是增函数．…………（11分）
（3）因为 ，故 时有 ，……（12分）
由（2），知 在区间 的最大值为 与 中的较大者．……（13分）
所以，对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当
，即 对任意的 成立．…………（15分）
从而得到 ． …………（17分）
所以满足条件的 的取值范围是 ． …………（18分）
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