三角形全等

教学目标
1.    通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性.
2.    比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法,初步培养学生的逻辑推理能力.
3.    初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法.
4.    掌握证明三角形全等问题的规范书写格式.
教学重点和难点
应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式.
教学过程设计
一、          实例演示，发现公理
1．        教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式.
2．        在此过程中应启发学生注意以下几点：
（1）             可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立.如图3-49(c)中，由AB=AC=3cm,可将△ABC绕A点转到B与C重合；由于∠BAD=∠CAE=120°，保证AD能与AE重合；由AD=AE=5cm,可得到D与E重合.因此△BAD可与△CAE重合,说明△BAD≌△CAE.
 
（2）             每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定.
（3）             由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
3.画图加以巩固.
教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形,理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象.
二、          提出公理 
1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS’的含义．
2．强调以下两点：
    （1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等．
    （2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上．
    3．板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程．
    如图3-50，在△ABC与△A’B’C’中,（指明范围）
 
       
    三、应用举例、变式练习
    1．充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，
    例1已知：如图 3-51， AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．求证：△ABD≌△CBD．
    分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 BD＝BD得到．
    说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等．
    （2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）．
分析：△ABD≌△CBD

因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD．
    （3）可将此题做条种变式练习：
练习1（改变结论）如图 3-51，已知 AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.求证：AD=CD，BD平分∠ADC.
分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即AD=CD；对应角相等∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等.
练习2(改变条件）如图 3－51，已知 BD平分∠ABC， AB＝ CB．求证: ∠A＝∠C．
    分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB＝CB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出．这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作．教师板书完整证明过程如下：
      
 以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式．
    （4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法．
    练习 3如图 3-52（c），已知 AB＝AE， AD＝AF，∠ 1=∠2．求证： DB=FE．
    分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠BAD＝∠EAF.
    练习  4如图  3-52(d)，已知  A为 BC中点，  AE//BD，  AE＝BD．求证： AD//CE．
    分析：由中点定义得出 AB＝AC；由  AE//BD及平行线性质得出∠ABD=∠CAE．
    练习  5已知：如图  3-52(e）， AE//BD， AE＝DB．求证： AB//DE．
    分析：由 AE//BD及平行线性质得出∠ADB=∠DAE；由公共边 AD＝DA及已知证明全等．
    练习6已知：如图3－52（f），AE//BD，AE＝DB．求证：AB//DE，AB＝DE．
    分析：通过添加辅助线——连结AD，构造两个三角形去证明全等．
    练习 7已知：如图 3-52（g）， BA＝EF， DF=CA，∠EFD=∠CAB．求证：∠B=∠E．
    分析：由DF＝CA及等量公理得出DA＝CF；由∠EFD＝∠CAB及“等角的补角相等”得出∠BAD＝∠EFC．
    练习8已知：如图3－52（h），BE和CD交于A，且A为BE中点，EC⊥CD于C,BD⊥CD于 D，  CE＝⊥BD．求证： AC＝AD．
    分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠B=∠E，这点利用“等角的余角相等”可以实现．