从鳖臑和阳马说起

从鳖臑和阳马说起

已有 91 次阅读2011-10-3 08:32

经常听到同行抱怨学生对空间垂直关系以及二面角掌握的不好，确实，笔者每次遇到讲授线线垂直、线面垂直、面面垂直的内容时候，也曾经为学生的茫然而头痛。

怎么突破这个难点？笔者找到了一个办法，希望和读者分享。当然仅是一家之言，效果如何？还有待实践的检验。

先讲点有关的数学历史。我国古代的数学成就除了在代数上独占熬头以外，在立体几何方面的成就也是举世共睹的。

在立体几何方面曾经作出过杰出贡献的有祖冲之、祖暅、刘徽等数学家。古代数学家在研究空间几何体时，提出了两种比较特殊的锥体：阳马、鳖臑。《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵。斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。” 刘徽 注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得。”

什么是鳖臑？其实就是四个面均为直角三角形的三棱锥，两个鳖臑拼在一起就是阳马。笔者就用鳖臑来作为学生学习空间垂直问题这个难点的突破口的，效果很好。

在1992年全国高考理科数学试题中，曾经有这样的问题：

在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有（   ）个？

A.1       B.2       C.3      D.4

当年本题目的得分也是十分低的，足以说明学生对垂直关系的掌握是不乐观的。

突破难点采用的是一种循序渐进的思路：

一．        提出问题：有没有四个面都是直角三角形的三棱锥？请用学具（塑料棒、橡皮泥）制作模型。

新课程标准对立体几何的教学要求十分符合学生的认知心理，概括起来就是“直观感知、操作确认、思辩论证、归纳证明”这几个重要环节。多年来，我在讲授立体几何时一直要求学生准备学具，用学具摆模型，或者用硬纸片制作几何体。那道著名的曾经让命题者尴尬的美国德克萨斯州中学生数学竞赛试题：一个正三棱锥和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将它们的某两个面重合，组成的新几何体有几个面？解决时，就是先让学生制作模型，再去论证。

二．        观察思考：

将你摆出的几何体的直观图绘制出来，标上字母。然后观察其中有哪些线线垂直、线面垂直、面面垂直？能够给出证明吗？

引导学生“提炼”出一个有用的结论：如果一直线与三角形的两边垂直，那么必定与第三边垂直。这样学生再思考垂直关系时，思维的质量就会有明显的提高。

如图1，在三棱锥 中， 平面 ，

，求证： 平面 ，平面 ⊥平面 。

证明：

∵ 平面 ， 平面

∴ ，又

∴ 平面 ，又 平面

∴平面 ⊥平面 。

 

三．        变换位置：

再提供任意位置的鳖臑，由学生去观察。最好能够给出一些比较复杂的几何体，由学生去发现其中隐藏着的鳖臑。

例如：已知直四棱柱 的底面是菱形，且 是棱 的中点。

四．        灵活应用：

有了上面的铺垫，相信学生对空间垂直关系一定有了比较深刻的认识，学生如同习了一身本领的将士，可以经历如火如荼的“解题”洗礼了。

在三棱锥 ，已知 ， 是线段 上一点， ，点 在线段 ，且 （图3）。

求 长。

分析：结合已知条件，观察图形，追根溯源，要想证明 平面 ，必须先证明 平面 。

证明：∵ ，

∴ ，同理 ， ，

∴ 平面 ，而 平面  ∴ ，

又∵ ，

而 ，∴ ，又 ，

∴ 平面 ，∴ ，

根据 ， ，∴ 平面 ∴ ，

那么在 中 。

至于二面角的教学，鳖臑也是一个特别好的载体。可以让学生观察鳖臑中有多少个二面角？哪些是直二面角？哪些二面角的平面角已经给出？当然其中有一个难度稍大一些的问题：

如图1，做二面角 的平面角。

如同垂直关系的教学一样，充分作好这些准备工作以后，再提供一些几何体供学生演练巩固提高。

这样的处理，可以充分利用鳖臑的解题“标本”功能。数学是关于模式的科学，尽管没有万能的解题模式，但是会有一些捷径。教师就是要发现这些捷径，然后提供给学生，让他们少走弯路。