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《九章術解》卷五校勘 台師大數學系碩士班 楊瓊茹 第一節 導論 《九章算術》卷五「商功」二字，劉徽注︰「以御功程積實也」；李籍《九章算術音義》︰「商，度也。以度其功庸，故曰商功。」兩者都是指工程中體積計算的意思。1綜觀『商功章』，其主要內容是在討論立體體積、工程分配以及委粟數量的問題，總共二十八個問題。在中國數學史上，劉徽的注解提供後世對九章題術更進一步的瞭解。在韓國這一方面，《九章算術》則由南秉吉作注解，即《九章術解》。然而，南秉吉究竟對中國《九章算術》中數學知識的認知與瞭解是如何？本文試圖從南秉吉的注解與劉徽對比來回答此一問題。另外，南秉吉注解所依據的《九章算術》為哪一版本？針對此疑問，本文的第一部份先給予底本的探討。其次，討論南秉吉注解的特色，最後則是對南秉吉注解的評價。經由《九章術解》的探究，我們對南秉吉的數學素養有初步了解。 第二節 底本探討 既然我們要釐清南秉吉注解所依據的《九章算術》之底本為何，筆者盡可能地搜羅現存的《九章算術》各個版本來作比較，其中包括有南宋鮑澣之的《九章算術》刻本、戴震校勘的武英殿聚珍版《九章算術》、《四庫全書》中的文淵閣本《九章算術》、孔繼涵刻入微波榭本的《九章算術》以及李潢的《九章算術細草圖說》（1820），總共五種 (以下各書分別簡稱為南宋本、武英殿聚珍本、文淵閣四庫本、微波榭本以及李潢本)。2底下分為題目順序及單一文字兩方面進行比較。 1. 題目順序︰首先，筆者將手上關於《九章算術》的文本，取各題的關鍵字將題目編號 ( 以南秉吉《九章術解》的編排順序為基準 )，以比較各版本題目呈現的先後順序。對比的結果，我們發現『微波榭本』、『南宋本』以及『李潢本』這三者和《九章術解》題目及術文的編排順序是一致的︰ 穿地題、城垣堤溝壍渠術、城垣隄題、冬程人功題、冬程人功術、溝題……委菽依垣題、委米依垣內角題、穿地下廣題……。 另一方面，『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』之題目及術文的編排順序則如下︰ 穿地題、穿地下廣題、城垣隄題、冬程人功題、城垣堤溝壍渠術、冬程人功術、溝題……委米依垣內角題、委菽依垣題……。 顯然，題術編排有三處差異。第一處是穿地下廣題在『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』中，被緊接地置於穿地題之後。由於穿地下廣題是將「堅土求穿地」及「垣積反求下廣之逆運算」結合起來的問題，3所以『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』如此編排題目順序，可能是著眼於「堅土求穿地」，而《九章術解》、『微波榭本』、『南宋本』及『李潢本』，則是著重在「垣積反求下廣之逆運算」。第二處差異，則是城垣堤溝壍渠術在『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』中，被插置於冬程人功題及冬程人功術兩者之中，而《九章術解》、『微波榭本』、『南宋本』以及『李潢本』，則是提綱挈領地將術文規置在相同題型的題目之前，可能是戴震誤移所致。4第三處差異是委米依垣內角題及委菽依垣題兩者順序相反，就術文來看︰「其依垣者十八而一，其依垣內角者九而一。」，5顯然『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』的題目順序和術文沒有前後呼應。 總結來說，比對之下所發現的題術順序差異，就整個「商功章」題術本身的邏輯性而言，並無顯著的影響，但在底本的探討上，卻提供進一步的線索。 2. 單一文字︰接下來將各個九章算術版本逐字對照《九章術解》裡九章術文本的部分 。6
由上述的底本對比，何者較接近《九章術解》？7從題目編排順序討論，筆者首先排除『武英殿聚珍本』及『文淵閣四庫本』，並且從單一文字對比來看，顯然『武英殿聚珍本』與《九章術解》的差異較多。在本章第5題 (春程人功)中，李潢本有「潢按設問并出土功五分之四當作五分之一」記載，筆者認為南秉吉若是採用『李潢本』，應該會注意到李潢的校定才是，故再排除『李潢本』。剩餘未排除的『微波榭本』、『南宋本』是筆者手邊現存的版本中，比較接近《九章術解》的。 第三節 南秉吉注解的特色 在工程分配問題(冬程人功、春程人功、夏程人功、秋程人功、負土問題、載土問題)以及體積的逆問題(反求穿地下廣、倉高、圓囷周)，南秉吉將題目中的數據引入術文中直接陳述每個步驟，並非全是文字性的抽象敘述。但是關於體積公式的術文解說，則不引入數據，著重在體積公式的說明，採用『周三徑一』、『截面原理』將「方」過渡到「圓」，與劉徽的注是相似的，但不考慮劉徽及李淳風的體積修正公式。就整個體積公式的注解方法來看，劉徽採用的是『棊驗法』和『出入相輔』。同樣地，南秉吉在注解「城垣溝壍渠」術文亦採用『出入相輔』，但南秉吉更進一步解釋︰「上下廣相減，餘折半以加短，乃得中平之廣與并上下廣而半之相等也」。8另外，南秉吉證明方亭、羨除、芻甍、芻童等體積公式時，其手法和「棊驗法」相似，但似乎更為直觀，底下以芻甍為例說明︰ 以下廣乘上袤又以高乘之，則得長方體一也；以下廣乘下袤而倍之，又以高乘之，則得下廣乘下袤及高所成之長方體二、以上下袤差乘下廣及高所成之方廉體四也，并之共得長方體三即壍堵體六也、方廉體四即陽馬體十二也、將此一壍堵體各加二陽馬體，則成芻甍者六。9 把它轉為現代語言來作說明︰ 上袤 ×下廣 ×高 ＝ 長方體1個 2下袤 ×下廣 ×高 ＝ 長方體2個 + 方廉體4個 +) 其中 方廉體 ＝ (下袤－上袤) ×下廣 ×高 [(2下袤 + 上袤) × 廣] × 高 ＝ 長方體3個 + 方廉體4個 ＝ 壍堵體6個 + 陽馬體12個 ＝ 6(壍堵體1個 + 陽馬體2個) ＝ 6芻甍 而劉徽對芻甍的注解︰10 假令下廣二尺，袤三尺，上袤一尺，無廣，高一尺。其用棋也，中央壍堵二，兩端陽馬各二。倍下袤，上袤從之，為七尺。以廣乘之，得冪十四尺。陽馬之冪各居二，壍堵之冪各居三。以高乘之，得積十四尺，其于本也，皆一而為六。11 將上述術文整理解釋如下︰
比較特別的是，南秉吉在注解方錐體積公式卻跳出如同上述的一貫方式︰12 又自正方體中心依各稜角至各角剖之則成六尖方體，此每一尖方體俱為倍高正方體之六分之一。若同高扁方體則必為三分之一，故三歸之得尖方體也。13 再對照《數理精蘊》中的方底尖體形 (見下圖)︰ 又自甲心依各稜至各角剖之，則成甲乙丙丁戊、甲子寅癸丑、甲癸寅丙丑、甲戊丁子寅、甲乙戊寅癸、甲丙丁子丑六尖方體。此每一尖方體俱為倍高正方體之六分之一。既為倍高正方體之六分之一，則必為同高扁方體之三分之一。故將所得庚乙丁辛之同高方體積三分之。14
南秉吉採用的可能是《數理精蘊》方底尖體形的數學知識，而此論證方法是針對底長為高兩倍的方錐而言，並沒有說明一般化的情形。此外，《九章術解》和《數理精蘊》亦有一些相似處，例如《九章術解》中的陽馬︰ 此陽馬與方錐形雖不同，而法則一也。蓋方錐形尖在正中，陽馬形尖在一隅，然大凡體形，其底面積等，高度又等，則形雖不同，而積則一也 。15夫一正方體剖之得二壍堵，一壍堵體剖之得一陽馬、一鼈臑，而一陽馬剖之又得二鼈臑，是陽馬體為壍堵體三分之二，即為正方體之三分之一，而鼈臑體為壍堵體三分之一，即為正方體之六分之一也。16 再對照《數理精蘊》中的陽馬體形︰ 此陽馬體與尖方體，形雖不同而法則一。蓋尖方體形，尖在正中。陽馬體形，尖在一隅。然大凡體形，其底面積等，高度又等，則其體積亦必相等……。故形雖不同而積則一也。17 以及《數理精蘊》的鼈臑體形︰ 夫一正方體剖之，得二塹堵體，是塹堵體為正方體二分之一也。一塹堵體剖之，得一陽馬體、一鼈臑體。而一陽馬體剖之，又得二鼈臑體。是陽馬體為塹堵體之三分之二，即為正方體之三分之一。而鼈臑體為塹堵體三分之一，即為正方體之六分之一也。18 從上述對比來看，《九章術解》和《數理精蘊》兩者的文字內容及語氣轉折幾乎相同。無獨有偶地，《九章術解》的芻童和《數理精蘊》的上下不等長方體，兩者幾乎如出一轍。19在修辭方面，《九章術解》和《數理精蘊》兩者均用「因」、「歸」以及「……為一率，……為二率，……為三率，得四率……」做陳述；20在多面體亦有相同的名詞。21 第四節 南秉吉注解的評價 綜觀《九章術解》商功第五，幾乎未收入劉徽的注和李淳風的釋，而是南秉吉自己重新將九章術本文做注解。然而，有關劉徽在立體和委粟問題所注釋的體積修正公式、對「非標準棊」的論述，以及用無窮小分割證明陽馬和鼈臑的體積比為2︰1，南秉吉均隻字未提，究其原因，是否正如同他在《九章術解》的跋所言︰「劉徽注之、李淳風釋之，然俱多未曉處，抑或繡出鴛鴦而藏其金針之義歟。注釋所以啟來者而終莫能端倪……。」或許是可能的，但亦不能憑此驟下定論。至於《數理精蘊》是否有影響南秉吉對九章術本文的注解，就諸多相似處來看，答案應該是肯定。另外，就南秉吉注解的方式來看，他將題目的數據引入術文，詳細說明每一步驟，呈現程序化的計算性；在體積公式論證方面，與『棋驗法』略有差異，較貼近《數理精蘊》的證明形式。總結來說，算法詳細有數據、論證直觀簡明，為南秉吉注解的最大特色。 註解 1. 參見李繼閔，《九章算術及其劉徽注研究》( 台北︰九章出版社，1992 )，頁301。 2. 南宋鮑澣之的《九章算術》刻本，到了明朝，只存前五卷。清初汲古閣主人毛扆影抄錄這五卷，世稱汲古閣本。明朝《永樂大典》中載錄的《九章算術》，其底本是不同於鮑澣之的另一抄本。清乾隆三十九年，戴震將《九章算術》從《永樂大典》輯出校勘，收入《武英殿聚珍版叢書》，並於乾隆四十九年抄入《四庫全書》。在乾隆四十一年，戴震曾經重校《九章算術》，以聚珍版的底本參校汲古閣本。次年，其前五卷以汲古閣本為底本，再次校勘，由孔繼涵刻入微波榭本。 3. 參見郭書春譯注，《九章算術》(瀋陽︰遼寧教育出版社，1998 )，頁332。 4. 參見郭書春，〈九章算術提要〉，( 收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙?數學卷一》，鄭州市︰河南教育出版社，1993 ) ，頁89。郭書春認為是戴震誤移於此，戴震︰「按此節之上，原本有術曰二字，上兩節并注。原本誤入上城垣堤溝壍渠皆同術之下，今訂正合為一條。」。 5. 引自南秉吉，《九章術解》，頁372-373。 6. 溝題和春程人功題皆編列到題號5裡；穿渠題和秋程人功題皆編列到題號7裡。 7.《九章術解》本身也有文字上的錯誤。芻童曲池盤池冥谷術文︰「其曲止者……」，當中的「止」字應改為「池」；委粟術文︰「……程粟一斛積三尺七寸……」，當中的「三」字應改為「二」；第二十七題︰「今有倉，廣……，問斛幾何」，當中的「斛」字應改為「高」。另外，《九章術解》的用字和其他版本也有些不同︰「鼈臑」的「臑」字，南宋本為「腝」字；「答曰」的「答」字，微波謝本、楊輝本、南宋本為「荅」字；「圓堡壔」的「堡」字，微波謝本為「堢」字。 8. 引自南秉吉，《九章術解》，頁352。 9. 同上，頁364-365。 10. 劉徽︰「蓋說算者乃立三品棋，以效高深之積。」說明劉徽是記述前人的棊驗法。 11. 參見郭書春譯注，《九章算術》( 瀋陽︰遼寧教育出版社，1998 )，頁316。 12. 方亭、羨除、芻甍、芻童體積公式的證明手法是相同的。 13. 引自南秉吉，《九章術解》，頁361。 14. 引自清?康熙御制，《數理精蘊》，( 收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙?數學卷三》，鄭州市︰河南教育出版社，1993 )，頁822。 15. 卡瓦列利原理。 16. 引自南秉吉，《九章術解》，頁362-363。 17. 引自清?康熙御制，《數理精蘊》，頁822。 18. 同上，頁823-824。 19. 體積公式的論證方法是完全相同的，並且陳述語氣︰「……其二上下方面，俱如……，其二上下方面，俱如……，其一上下方面，俱如……，其一上下方面，俱如……」亦相同。只是《數理精蘊》多用甲乙丙丁…等符號標示所指的體積部分。參見清?康熙御制，《數理精蘊》，頁825-826；南秉吉，《九章術解》，頁366。 20. 「因」、「歸」通常是表示一位數的乘、一位數的除，但南秉吉在夏程人功術文中卻用「四因十五歸」。 21. 尖方體、扁方體、三稜體、尖圓體、長圓體、長廉體、方廉體。 |
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