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第2讲 横式数字谜(一)
在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。 例如，求算式324+□=528中□所代表的数。 根据“加数=和-另一个加数”知， □=582-324＝258。 又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。 解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。 这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。 解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则： (1)一个加数+另一个加数=和； (2)被减数-减数=差； (3)被乘数×乘数=积； (4)被除数÷除数=商。 由它们推演还可以得到以下运算规则： 由(1)，得 和-一个加数=另一个加数； 其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8可用加法拆分为 8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4； 24可用乘法拆分为 24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(两个数之积) =1×2×12＝2×2×6=…(三个数之积) =1×2×2×6＝2×2×2×3=…(四个数之积) 例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？ (1)□+5＝13-6； (2)28-○＝15＋7； (3)3×△=54； (4)☆÷3＝87； (5)56÷*＝7。 解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2； (2)由减法运算规则知，○＝28-(15＋7)＝6； (3)由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18； (4)由除法运算规则知，☆=87×3＝261； (5)由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。 例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+□+□=48； (2)○＋○＋6＝21-○； (3)5×△-18÷6＝12； (4)6×3-45÷☆＝13。 解：(1)□表示一个数，根据乘法的意义知， □+□+□=□×3， 故□=48÷3＝16。 (2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有 (○＋○＋6)＋○＝21， ○×3＝21-6， ○＝15÷3＝5。 (3)把5×△，18÷6分别看成一个数，得到 5×△=12＋18÷6， 5×△=15， △=15÷5＝3。 (4)把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到 45÷☆＝6×3-13， 45÷☆＝5， ☆＝45÷5＝9。 例3(1)满足58＜12×□＜71的整数□等于几？ (2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。 180=□×□×□×□。 (3)若数□，△满足 □×△=48和□÷△=3， 则□，△各等于多少？ 分析与解：(1)因为 58÷12＝4……10，71÷12＝5……11， 并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。 (2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如 180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝… 但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如 180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝… 若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种： 180＝2×3×5×6。 所以填的四个数字依次为2，3，5，6。 (3)首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有 48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6， 其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此 □=12，△=4。 这道题还可以这样解：由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□换成△×3，就有 (△×3)×△＝48， 于是得到△×△=48÷3＝16。因为16＝4×4，所以△=4。再把□=△×3中的△换成4，就有 □=△×3=4×3=12。 这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。 下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。 例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立： (1)4 4 4 4＝24； (2)5 5 5 5 5=6。 解：(1)因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×”。4×4＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法： 4×4＋4＋4＝24； 4＋4×4＋4＝24； 4＋4＋4×4＝24。 (2)因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“÷”，有如下填法： 5÷5+5-5+5＝6； 5＋5÷5＋5-5＝6； 5＋5×5÷5÷5=6； 5＋5÷5×5÷5＝6。 由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。 例5 在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立： 8 2 3＝3 3。 分析与解：首先考察右端“3 3”，它有四种填法： 3+3＝6； 3-3＝0； 3×3＝9； 3÷3=1。 再考察左端“8 2 3”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“×”。经试算，只有两种符合题意的填法： 8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3。 填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。
练习2 1.在下列各式中，□分别代表什么数？ □+16＝35； 47-□=12； □-3＝15； 4×□=36； □÷4=15； 84÷□=4。 2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (□+350)÷3=200； (54-○)×4＝0； 360-△×7＝10； 4×9-☆÷5=1。 3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？ 150-□-□=□； ○×○＝○＋○； △×9＋2×△=22。 4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里： 120＝□ ×□×□×□。 5.若数□，△同时满足 □×△=36和□-△=5， 则□，△各等于多少？ 6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立： (1)5 5 5 5 5＝3； (2)1 2 3 4＝1。 7.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立： 12□4□4=10□3。 8.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立： 123□45□67□89＝100； 123□45□67□8□9＝100； 123□4□5□67□89＝100； 123□4□5□6□7□8□9＝100； 12□3□4□5□67□8□9＝100； 1□23□4□56□7□8□9＝100； 12□3□4□5□6□7□89＝100。 |
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