平面幾何等幾個重要定理(一)

平面幾何等幾個重要定理(一)

1. 萊莫恩(Lemoine)線：設三角形ABC的∠A的外角平分線與BC的延長線交於P，∠B的平分線與AC交於Q，∠C的平分線和AB交於R。求證P、Q、R三點共線。
   註：直線PQR稱為三角形ABC的萊莫恩(Lemoine)線。
2. 戴沙格定理：設三角形ABC和A'B'C'對應頂點的連線AA'、BB'、CC'交於一點S，這時如果對應邊BC和BC、CA和CA、AB和AB(或它們的延長線)相交，則它們的交點D、E、F在同直線上。
   註：戴沙格定理是射影幾何中等一個重要定理。
3. 牛頓定理：設四邊形ABCD的一組對邊AB和CD的延長線交於點E，另一組對邊AD和BC的延長線交於F，則AC中點L、BD中點M及EF中點N三點共線。
   註：直線LMN稱為四方形ABCD的牛頓線。
4. 斯特瓦爾特定理：設P為三角形ABC的邊BC上一點，且BP：PC=m：n，則有　 nAB² + m AC² =(n+m)AP² + mn BC²/(m+n)。
   註：
   1. 當m=n時，即P是BC的中點時，可得AB² + m AC² = 2( AP² + BP²)，此即三角形的中線定理，亦稱巴布斯定理。
   2. 當AP為三角形ABC中∠A的平分線時，則由角平線的性質得m/n=AB/AC。此時BP =ac/(b+c)，CP=ab/(b+c)。所以AP²=4bcp(p-a)/(b+c)²。
      這公式亦可用sinA/2，及三角形面積公式得到。
5. 在三角形ABC中，設c>b，AD是∠A的平分線，E為BC上一點且BE=CD。求證：AE²-AD²=(c-b)²。
6. 設G為三角形的重心，M是平面上任意一點，求證：MA²+MB²+MC²=GA²+GB²+GC²+3MG²。
7. 在三角形ABC的邊BC上任取一點D，設ADB和ADC的角平分線分別交AB、AC於E和E，求證AD、BE、CF交於一點。
8. 已知AD是三角形ABC的邊BC上等高，P為AD上任意一點，直線BP、CP分別交AC、AB於E、F，求證∠FDA=∠ADE。
9. 三角形ABC中，內切圓⊙O與各邊BC、CA、AB相切於D、E、F，求證AD、BE、CF交於一點。
10. 在三角形ABC中，AM為BC邊上等中線，AD為∠A的平分線，頂點B在AD上等影為E，BE交AM於N，求證DN//AB。
11. 設平行四邊形內一點E，過E引AB的平行線與AD、BC交於K、G，過E引AD的平行線與AB、CD交於F、H，則FK、BD、GH互相平行或交於一點。
12. 一條直線與三角形三邊或其延長線交於L、M、N三點，若L'、M'、N'三點與L、M、N關於這三邊的中點對稱，求證L'、M'、N'三點也共線。
13. 設四邊形ABCD外切於⊙O，切點分別為E、F、G、H，則HE、DB、GF交於一點(或GH、CA、EF交於一點)。
14. 設D、E為三角形的邊BC上兩點，且BD=DE=EC，則2 AB²+AC²=6 DE²+3 AD²。
15. 設正△ABC邊長為a，P為平面上任意一點，證明PA²+PB²+PC²≧a²。

平面幾何等幾個重要定理(一)

1. 托勒密定理：設四邊形ABCD內接於圓，則有AB×CD + AD×BC=AB×BD。
   註：在凸四邊形ABCD中，有AB×CD + AD×BC≧AB×BD。等號成立的充要條件是ABCD為圓內接四邊形。
2. 設P、Q為平四方形ABCD的邊AB、AD上等兩點，三角形APQ的外接圓交對角線AB於R。求證：APx AB+AQxAD=ARxRC。
3. 設ABCD為圓內接正方形，P為(優)弧DC上一點。求證：PA(PA+PC)=PB(PB+PD)。
4. 已知圓內接正五邊形ABCDE，若P為弧AB上一點，則PA+PD+PB=PE+PC。
5. 設C₁、C₂為同心圓，C₂的半徑為C₁的兩倍，四邊形A₁A₂A₃A₄內接於圓C₁，分別延長A₄A₁、A₁A₂、A₂A₃、A₃A₄交圓C₂於B₁、B₂、B₃、B₄，求證四邊形B₁B₂B₃B₄的圓周L'不小於圓邊形A₁A₂A₃A₄的周長L的2倍。並指出等號成立的條件。
6. 西姆松定理：從三角形ABC的外接圓上任意一點P向BC、CA、AB或它們的延長線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點共線。
   註：(西姆松定理的推廣)卡諾定理：過三角形ABC外接圓上一點P，引與三邊BC、CA、AB分別成同向的等角直線PD、PE、PF，與三邊交點分別為D、E、F，則D、E、F三點共線。
7. 設三角形ABC的三條高為AD、BE、CF、過D點作AB、BE、CF、AC的垂線，垂足分別為P、Q、R、S，則P、Q、R、S在同一條直線上。
8. 史坦納定理：設三角形ABC垂心為H，共外接圓上任意一點P，則三角形ABC關於P點的西姆松線過線段PH的中點。
9. 設P、Q為三角形外接圓上的兩點，若三角形ABC關於P、Q的西姆松線DE和FG文於M，則∠FME=∠PCQ。
10. 歐拉定理：設三角形ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點共線，且OG=GH/2。
    註：O、G、H的連線稱為歐拉線。
11. 設L、M、N為三角形ABC的三邊的中點，求證三角形LMN的外心在三角形ABC的歐拉線上。
    註：由此命題得知三角形ABC與其三邊中點L、M、N構成的三角形LMN具有相同等歐拉線。由於三角形LMN的外接圓即為著名的九點圓。所以有以下結論。
12. 三角形三邊中點，三垂線足、三頂點和垂心所連線段的中點，此九點在同一圓周上，此圓稱為九點圓，或歐拉圓。九點圓的圓心在三角形的歐拉線上，即三角形的外心、重心、垂心和九點圓的圓心在同一直線上。
13. (1992年全國過中數學聯賽第二試第一題)設A₁A₂A₃A₄為⊙O的內接四邊形，H₁、H₂、H₃、H₄依次為三角形A₂A₃A₄、A₃A₄A₁、A₄A₁A₂、A₁A₂A₃的垂心。求證：H₁、H₂、H₃、H₄四點在同一圓上，並定出該圓圓心的位置。
14. 歐拉公式：設三形的外接圓和內切圓半生分別為R和r，則兩圓的圓心距d = [R(R-2r)]^1/2。
15. 若圓內接四邊形的對角嫂互相垂直，則兩對邊乘積的和的於四方形面積的兩倍。
16. 已知A、B為⊙O上兩定點，C為弧AB的中點，P庶圓上任意一點，求證(PA+PB)/PC或(PA-PB)/PC為定值。
17. 設圓內接四邊形ABCD的四邊AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，兩對角線AC=e，BD=f。求證：e²=(ac+db)(ad+bc)/(ad+cd)，f²=(ab+cd)(ac+db)/(ad+bc)。
18. 設AB為⊙O的一條弦，C為弧AB的中點，過C作弦CD和CE，分別交AB於F、G。求證：FDxGE+DExFG=DGxEF。
19. 利用西姆松定理證明托勒密定理。
20. P為等方三角形ABC的外接圓O上的弧BC上任意一點，P點的西姆松線DE(D在BC上，E在CA上)，OP與DE交於Q。求證：OQ=QP。
21. 圓內接四邊形ABCD中，∠D=90^。，過B作AC、AD的垂線，垂足分別為E、F，求證EF平分BD。
22. 設P為三角形ABC种在平面上一點，過P向三角形ABC三邊作垂線，垂足分別為A₁、B₁、C₁，設三角形ABC的外心為O，外接圓半徑為R，OP=d。求證：三角形A₁B₁C₁的面積：三角形ABC的面積=|R²-d² |：4R²。
23. 設三角形ABC外接圓半徑為R，某旁切圓半徑為r，d為兩圓圓心距，求證： d² = R² + 2Rr。
24. 設a、b、c為三角形ABC三邊的長，R為外接圓半徑，O、H分別為三角形ABC的外心和垂心。求證：OH² = 9R² - a² - b² -c²。