数的起源和发展

数的起源和发展

［摘要］   文章讨论了新旧石器时代数的起源问题以及数的发展及其进化史，重点介绍了数的四次扩张及由数引起的第一、 二次数学危机。

［关键词］ 数；具象；抽象；序列；数学危机；记数符号；数系

数是人类日常生活中不可缺少的内容，是我们表示数量关系的尺度。 从远古时期以绳打结、 刻痕的记数方式到近现代四元数的产生，经历了漫长而复杂的历史进程，可以说数的起源和发展已成为人类文明的一个重要组成部分。

一、 数的起源

探讨数的起源问题不仅是对数的起源作理性思维的概貌性描述和进行简单的直观类比判断，而且需要追溯数的起源中的每一个别的步骤，研究数的观念是怎样从模糊走到纯粹的。人类所创造的自然数是从 1和 2开始的，因此了解数的起源，必须要追溯 1 和 2 这两个数字在人们的思维中是如何产生的。

旧石器时代早期的人类尚未完成由猿到人的转变，谈不上数的观念。要追溯数的起源，必须从旧石器时代晚期的二元对立观念的产生说起。因为只有对立观念产生，数才能起源，单个的事物是不能形成数的观念的。在对立统一规律中，一方相对于另一方而存在。数字中的1 和 2的关系也是如此，它们共存共亡，共生共灭。笔者认为， 1 和 2 是同时起源的，并且这一组对立形成之后，按一分为二对立原则不断扩大使用。 也就是说，人脑思维的对立运动首先萌生了 1 和 2 这样两个基本的数的概念，然后才有可能发展和扩大去滋生更多的数。 从这个意义上说数起源于二元对立的出现，二元对立观念是数的起源史上第一个里程碑。 然而，此时人们远未产生纯粹的数的概念。

到了新石器时代早中期，数的观念在继承旧石器时代的二元对立观念的同时，朝着抽象化的方向迈进了一大步。 在这个时期，彩陶纹饰和神话是重要的符号形式，数的观念也在其中得到体现。从总体上看，此时数的抽象化程度仍未达到消除在系统整体中位置相同的一切事物和现象差异的高度。 随着社会的发展，中期仰韶文化的庙底沟类型的彩陶纹饰使得数的观念从具象化到抽象化迈出了决定性的一步，从而具备了符号的抽象化本质。符号的抽象化在数的产生中完成了重要一步，但其还未决定数的观念的最后产生。 人们只有将开头不自觉的、 无意识的 “偶然的并列” 转化为自觉地、 有意识地去进行排列，才能正式产生数列的观念。

因此，在古代的新、 旧石器时代，数的起源历史经过了三个发展阶段，即从具象走向抽象，再从抽象走向序列。 在 “具象—— 抽象—— 序列” 的发展过程中，数的观念的形成历史皆是通过艺术符号表达出来的。 也就是说，数的发展还有待于外化为固定的符号表达方式，这就是数的观念起源历史的最后一步，它是与文字同步产生的。 在许多数学史书中均指出，在文字产生之前，人类已形成数的概念，并开始记载数目，但此时的数并非抽象的数。 从所属关系上来讲，数字是字，属于文字，是随着文字产生而形成的。

数的符号表达从现有文字材料看，可知世界上较早的几个文明国家或地区在公元前就有了比较完整的文字体系，相应地也有了文字记数符号，即数字。例如公元前 3400 年左右的古埃及象形数字，公元前 2400年左右的巴比伦楔形数字，公元前 1600 年左右的中国甲骨文数字，公元前 500 年左右的希腊阿提卡数字，公元前 500 年左右的中国筹算数码，公元前 300 年左右的印度婆罗门数字以及年代不详的玛雅数字等等。与此同时随着数的概念的发展，数的记载和运算仅仅靠数字已比较繁琐，所以逐渐出现了一些特殊的记数符号，形成数码。如古希腊的阿提卡数码和字母记数、 罗马数码、 中国的筹算记数与暗码、 玛雅人的符号记数、印度—— 阿拉伯数码等等。人们最初记数时并没有进位制，当结绳或书契记数时，有多大的数目就结多少个绳结或刻多少道痕迹。 随着文明的进步，人们需要记载的数目越来越大。 为了更简明地去记数，就产生了进位制。进位的方法是造新的数目符号代替原来同样大的数，数字的进位表示方法主要有三种：简单累数制、 逐级命数制、乘法累数制。根据考古学家提供的证据表明，人类在 5 万年前就采用了一些记数方法，最早采用的进位制有二进制、 三进制、 五进制、 十进制、 二十进制、 六十进制等。

数字是算术学科发展的基石，继而影响到整个数学的发展。算术知识的各种读本都有数字，账单、 票据等商业用品中也有许多数目符号。还有在数学发展的萌芽时期与初等数学时期，算术、 代数、 三角及天文学和物理学都遇到了大量的数目的计算问题。计算方法的优劣直接关系到诸学科的发展水平，而数的计算与数的表示方法密切相关。 因此，记数方法在一定程度上也表明了一个国家或地区的数学发展水平。

二、 数的发展

纵观数的概念的发展史可知，人们在认识了自然数后又认识了正分数。所谓分数就是把两个自然数相除所得之商当作一个数。 由于现实生活的需要，正整数不能适应表示一些事物整体与部分之间的关系的要求，如七个人分三个猎物，每人分多少？运用正整数无法表示这一要求。为解决这些问题，于是就产生了分数。 中国古代数学著作 《周髀算经》 中已有了分数运算，而稍迟一些的中国古代数学名著 《九章算术》“方田” 章给出了完整的分数运算法则及求最大公约数的方法。

为了使减法运算也在数系内通行无阻和表示相反意义的量，人们引进了负数的概念，其具体年代已无从考证，但负数产生的直接原因却是由于解方程的需要。中国人最早提出了负数并深刻地认识它，它大大促进了数学学科的进一步发展。中国的 《九章算术》 一书中记载了 “正负开方术” ，魏晋时期的中国古代大数学家

刘徽对负数的出现作了很自然的解释： “两算得失相反，要令正负以名之” ，并且能在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。 而印度数学家在公元 7 世纪才开始使用负数的。欧洲直到十六、 十七世纪，绝大多数的数学家还不承认其是数，有些人称负数为 “谬论”。 为了表示没有物体的量，人们引进了零的概念。同时，中国也是最早认识 “零” 的国家之一。 刘徽注 《九章算术》 中，已明确以 “零” 为数，在算筹中则以空位表示 “零”。 印度人是最先使用 “0” 这个符号的。“0” 是正数和负数的分界点，也是解析几何中笛卡尔坐标轴上的原点，没有 “0”也就没有原点，也就没有了坐标系，几何学大厦就会分崩离析。 所以说，数的一步步完善和发展是为了满足人们的生活需要而产生的。

整数、 分数统称为有理数。 有理数的产生是数学史上数的第一次扩张。

在公元前5 世纪，古希腊是奴隶制社会，当时的毕达哥拉斯学派证明了勾股定理、三角形内角和为 180度等重要的数学定理，首先提出了黄金分割和正多边形和正多面体等精彩概念，对古代数学的发展做出了巨大的贡献。 但是，毕达哥拉斯学派的数学研究的主要目的并不在于发现各种具体的数学规律，而是希望能揭示出数学规律的 “普遍含义” ，并由此对世上的事物和现象作出解释。 毕达哥拉斯学派认为 “任何量都可以表成两个整数之比（即有理数） ”。 但该学派的成员希帕苏斯在公元前 470年左右首先发现了不能用整数比表示的数，他画了一个边长为1 的正方形，设其对角线长为 x，由勾股定理得 x= 2 姨 ，而这个 x却无法用两个整数之比表示。希帕苏斯提出的问题及这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到恐慌，其动摇了当时被尊为神圣真理的信念和这个学派的哲学核心——万物皆依赖于整数。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的，新数的出现使得已经确立的几何学的大部分理论的证明都失效了。正方形的对角线不能没有长度，这是任何人都承认的事实，但是正是这条直观具体的对角线的客观存在与毕达哥拉斯时代的数学观念之间发生了短时间内不可调和的矛盾和冲突，这个 “逻辑上的丑闻” 使得他们对新数的发现严守秘密，这个数后来被叫做 “无理数” ，它的发现引发了 “第一次数学危机”。 大约在公元前 370 年，希腊数学家欧多克索斯以及毕达哥拉斯的学生阿尔希塔斯巧妙地消除了这一危机，但要从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。 在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，从而又恢复了毕达哥拉斯的 “万物皆依赖于整数” 的思想。 无理数的引进，是数学史上数的第二次扩张，它的引入，排除了第一次数学危机，使无理数登上数学的舞台。 这充分说明了科学是批判的、 疑问的、 创造的、 严谨的和求实的。 第一次数学危机表明，希腊的数学已由经验科学变为演绎科学。

17 世纪中叶，牛顿、 莱布尼发明微积分，但因实数理论不完善，微积分不能严格化，引发了 “第二次数学危机”。直到19世纪中叶，魏尔斯特拉斯、 康拓、 戴德金等人建立了实数理论，第一、 二次数学危机才彻底消除。

在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。许多数学家认为数学成就已经登峰造极，数的形式不会有什么新的发现了，但在解方程时，常遇到负数开平方的问题，为了解决这一问题，引入了虚数，虚数的出现是数学史上的一件大事，这是数的第三次扩张，此次扩张放弃了实数的大小顺序关系，这是非常有意义的。 因为复数不仅能表示量的大小，还能表明方位，有极大的实用价值。大约到了 19世纪初叶，数学家们考虑能不能再进一步地扩充数系？确切地说，是不是可以把复数本身作为更广泛的数系的特点，而且这类数系也是从实际出发，但借助了两个以上不同的单位而建立起来的，且还能保持全部的基本运算规律呢？答案是否定的，原则上不可能再进一步扩充数系并且使得算术的全部基本规律仍被保持。但是，若舍去其中几条，那么数的第四次扩张是可能的。在数学史上，出现了两种途径的第四次扩张。 第一种扩张大约在 1843 年，由英国数学家哈密顿提出了四元数。 四元数的发现具有十分重大的意义，其转变了人们关于运算的传统观念，开阔了思路，促使数学家们离开实数和复数固有的性质去开拓新的数学领域，导致了线性代数和线性结合代数的诞生。后来数学家凯莱在1845 年又提出了八元数，德国数学家格拉斯曼在 1844年提出了一种有几个分量的所谓的超复数。 此时，数学家们已从扩大数系的方向转到了对数系内部的研究上去了。第二种扩张是在 1960 年秋，美国数学家阿伯拉罕·鲁宾逊用数理逻辑的方法将 “无穷小” 和 “无穷大”作为 “数” 深入到实数系中，使得实数域 R 扩充到了超实数域 R＊。 人们有趣地发现，曾被柯西从数系中排除出去的无穷小，经过否定之否定又回到数系中来，并占据了合法的席位。

参考文献
［1］张顺燕. 数学的美与理［M］ . 北京：北京大学出版社，2004.

［2］李文林. 数学史概论［M］ . 北京：高等教育出版社，2003.

 

 

数学符号的起源

加号曾经有好几种，现在通用“+”号．“+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的．16世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“più”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“+”号．“－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，后来就演变成“－”了．

1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了 “＋”、“－”这两个符号，但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始．

还有一种说法是，卖酒的商人用“－”表示酒桶里的酒卖了多少．以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“－”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+”号．

乘号曾经用过十几种，现在通用两种．一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；另一个乘号是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的．德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，表示反对，而赞成用“·”号．他自己还提出用“п”表示相乘．可是这个符号现在应用到集合论中去了．　

到了18世纪，美国数学家欧德莱认为乘法是一种特殊的加法，于是他就把加号斜着写，以表示相乘，这样“×”就产生了．

除号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比．也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．

1659年，瑞士人拉恩首创除号“÷”．他用一条横线把两个圆点分开，表示平均分．这样“÷”就产生了．后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，正式把“÷”作为除号．不妨算算：除号的产生比乘号的产生晚多少年？

平方根号“√”最早是1220年意大利数学家斐波那契使用的，用拉丁文“Radix”（根）的首Ｒ尾两个字母合并起来表示作为平方根号．17世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号．“√”是由拉丁文root（方根）的第一个字母“ｒ”变来，上面的短线是括线，相当于括号．

等号“＝”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用．16世纪法国数学家维叶特用“＝”表示两个量的差别．可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“＝”从1540年就开始使用起来．1591年法国数学家韦达在其著作中大量使用“＝”后，它才逐渐为人们所接受．17世纪德国莱布尼茨广泛使用该符号．他还创用了相似号“∽”和全等号“≌”，在几何学中被广泛使用． 

1591年法国数学家韦达开始使用括号“（）”，1629年格洛德开始使用括号．大于号“>”和小于号“<”，是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用的．至于“≯”、“≮”、“≠”这三个符号的出现，是很晚很晚的事了．大括号“{ }”和中括号“[ ]”是代数创始人之一魏治德创造的．

“∞”曾被罗马人用来表示1000，而后来用于表示任意的非常大的数，无穷大．公元1665年，一位牛津大学的教授约翰·威廉第一次用这个符号表示无限．但该符号直至1713年贝努利使用它之后，才被广为采纳．

在微积分中，我们还学习了表示微分与积分运算的符号，例如：lim，∞，dx，∑等．而在高等代数中，学生又遇到的一些特别的符号，如表示行列矩阵的符号．每学习一门新数学课，或进入一个新的数学分支，我们都会遇到新的符号．

数学符号的功能是什么呢？

英国学者R.斯坎普开列了如下“菜单”──数学符号的十种功能：

（1）传递；（2）记录知识；（3）形成新的概念；（4）简化复杂纷繁的分类系统；（5）解释；（6）使反思活动成为可能；（7）揭示结构；（8）使操作程序自动化；（9）信息的恢复与理解；（10）进行创造性的思考．

 

 

数学的起源与发展

“数学”这个词在我们的生活中可谓是无处不在，他作为人类思维的表达形式，反映了人们的积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。“数学”与我们身边的其他学科也有着密切联系。例如在天文学方面、医学方面、经济学方面等等。大到天文地理，小到生活琐事，数学的魅力可谓是发挥的淋漓尽致。

然而关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹“龙马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只“神龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。马背上的图叫“河图”，乌龟背上的书叫做“洛书”，当“河图洛书”出现后，数学也就诞生了。

当然，这个也只不过是个传说罢了。数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。

远在一万五千年以前，人类就可以相当逼真的描绘出人和动物的形象，这是萌发图形意识的最早证据。后来就开始逐渐对圆形和直线型的追求，从而成为数学图形的最早的原型。在日常的生活实践中又逐渐产生了记数的意识和系统。人类摸索过许多种记数的方法，例如用石块记数，结绳记数等，最后逐步发展到现在我们所用的数字。图形意识和记数意识发展到一定阶段，又产生了度量的意识。

从人类社会的发展史来看，人们对数学本质特征的认识也在不断变化和深化着。欧几里得说过“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。”他的算术来自于普通常识中的非负整数。而且直到十九世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识。因此，十九世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然学科，经验学科，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。随着数学研究的不断深入，从十九世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位。这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结之上。

与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问。数学家怀特海在《数学与善》一书中说到：“数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔的不完全性定理的的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾。人们此时又想到了数学是经验科学的观点。著名数学家冯·诺依曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。波利亚则认为：“数学有两个侧面，他是欧几里得式的严谨的科学，但他也是别的什么东西。”

然而，人们对数学还有些其他的理解。有人认为“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”数学活动是社会性的。他是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然，适应和改造自然，完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响。也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看做一门学科相比，我更喜欢把他看做是一门艺术”数学家在理性世界指导下所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的相似之处，这是真实的而并非臆造的。

而我渐渐认为，数学是贯穿于我们生活中的必需品。我们的生活无处不用到数学，他不单单是艺术、是语言等。而是很多种事物的结合体，更多的是在生活中帮助我们的一种工具。

对于中国数学的起源来说，最早可以追溯到上古时期。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十、百、千、万，出现的最大的数字是三万。可见，中国数学的起源也是相当之早的。

在古代，算筹是一种计算工具，这种计算方法叫筹算。筹算产生的年代已不可考，但可以肯定得是，在春秋时期筹算已经是很普遍的计算方法了。直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所代替。中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。在几何学方面，早在夏禹治水时已使用了规、距、准、绳等作图和测量工具，并早已发现了勾股定理。然而，战国时期的百家争鸣，也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。

秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。

《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。

16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。

1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。

由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始。

看了数学的起源和发展，我不得不说，数学的确是最古老的一门学科了。在现实生活中，我们也常常和数学打着交道。从小父母就教我们认一、二、三、四。上学期间也一直不间断的学习着数学。起初我只觉得学习数学就是为了考试，为了做题。直到上了大学，我才发现，原来数学并不简简单单是做题考试那么简单，我们要学习的并不是如何利用数学解题，而是要理解数学的含义，把他和生活联系在一起，并且运用到生活中去。我想，数学这门学科的发展正如他在我心里的发展一样。从无到有，到了解，到深入，最后到运用。

 

 

 

 涨姿势：别看大脑数学不行，其他方面几乎无死角碾压计算机

       图片：Kai Schreiber / CC BY-SA
 

大脑内有 1000 亿个神经元，但为什么大脑的数学运算能力不如计算机快？

作者：曹梦迪，

---

由于学数学这些东西没有什么进化优势。在许多有进化优势的方面，人脑都比电脑要强大得多。

比如这么一个人脸：

如果问你：这是谁？你多半可以回答上来，至少也能做出“我认识她”，“我见过她”之类的这个判断。而且虽然他们平时见到的这个人和这张照片有很明显不同，但认识她的人可以在一秒之内回答这个问题，甚至再变形一点也没关系。现在就这一点，计算能力多强大的电脑也搞不定。别说这个，就连更容易计算的指纹识别也达不到一般人认脸的准确率。这是因为长期的进化为人脑预装了“人脸识别模块”。

比如这么一个很二的动态系统：

二十一个大自由度，两百多个个小自由度，六百多个执行机构，自身的稳定性超烂无比而且很多子系统之间耦合度还很强。面对这样一个系统，你就算找世界上最顶级的控制论专家团队，外加上几百个节点的超算集群，也无法做到实时进行负重战立、走路、跑步、上下坡、躲避障碍物等“简单”功能（如果你还不能理解这个的难度，下次试试搀一个烂醉如泥的人回家，你会发现：走五十米所要消耗的能量比你控制自己的身体走五千米还要多）。而人不但能干这些事情，而且还只用了很少一部分大脑，在干这个的同时能够打电话，背单词，跟路过的人打招呼，解数学题……这是因为长期的进化为人脑预装了“稳定站立和走路”这一模块。

比如这么一个画面：

如果在现场看比赛，那么在你的眼睛里的这个场景的分辨率大约有两亿像素，大约相当于 19000*11000 的样子，比蓝光清晰一百倍。蓝光视频压缩一小时大概是 10GB，照这样计算我们眼睛里看到的世界，一小时就是 1TB 的数据，每天就最少是 10TB 的数据。一个星期的数据就能塞满和大脑体积大小差不多的磁盘阵列，而大脑可以不间断存储几十年，能自动压缩，去重，备份重要数据，能随机提取、按场景提取、按特征提取……就算技术发展到今天，我们依然需要用几十个机柜来解决这样的问题，而且在某些方面上性能还相差很远——比如一个人可以在几秒钟之内回忆起三十年前重要事情的细节：比如三十年前第一次去现场看欧洲豪门比赛，心爱的球队被领先两个球的时候队长脸上细微的表情。而要电脑干这个事情两个小时也不一定有结果。这是因为长期的进化为人脑预装了“视觉压缩和记忆”这一模块。

比如这么一段简短的对话：

如果有人告诉你“it's time for us to take a break.”，你在绝大多数情况下能马上理解这是你的学生要求课间休息，下属想休假，狐朋狗友告诉你他没法再喝了，还是女朋友在暗示你她想一个人静一静（假定你懂英语的话）。你也可以轻松根据每种情况以及其它相关的信息（比如课程进度、公司规定、你自己还想不想喝酒、女朋友跟你关系怎么样。）组织一百种不同的回答。而且关键的是，每一种回答无论在语法、语义、语用、逻辑、情感等方面都毫不显得突兀。但是反过来，就算把全世界所有的计算能力都交给最顶尖的自然语言处理学者，他们也没法让电脑做到这一点。这是因为人的大脑预装了“语言”模块。

这样的例子还有很多。重点不是人脑有这些很牛的功能，而是人脑能轻松地同时完成这些功能——比如背着五千克的书包爬坡的同时认出了一个你的老朋友，然后边走边聊并将这个场景记忆了下来，而且普通人并不会觉得这会让大脑由什么负担（其实同时大脑在此同时还在干着许多其它事情，比如不断地调节着人的呼吸、心跳、呼吸、内分泌等一系列复杂的生化过程等）。而可怕的是人脑不但能轻松完成这许多工作，而且还十分节能环保，靠自带电池只需要补充电解液就能续航好几天。更可怕的是人还可以学习：从认识新的面孔到学习跳舞，从掌握新的语言到理解足球战术，人都可以学得会。后面这两点更是电脑远远比不上的。深蓝能战胜国际象棋高手，但是在人脸辨识方面基本上就是白痴——而且如果没有人去修改这个程序，它将永远都会在其它方面是这个样子。

回到原先的问题：人脑非常很强大，但是为何就做不了复杂的数字计算呢？人脑非常很强大，但是面对复杂而多变的自然环境，就必须预装许多模块来应对。不这样的话，人早就挂了（想想一下如果一个人一直认不出自己的父母，无法读取时间稍长的记忆，或是无法跟他人用语言交流会怎么样？）。至于复杂一点的数学题算得多快，却对人的生存能力的影响微乎其微。并且人脑在预装了这些模块用完了这些计算资源之后，剩余的计算能力虽然称得上小康，但却远远没有达到可以随便任性的程度。所以人可以努力让某些任务完成得非常好，但是全部都是经过艰苦卓绝的训练，通过对大脑剩余的计算能力重新“编程调试”得来的，而这些“编程调试”工作的完成者，还都只是你自己一个人而已。（实际上做数学题做得好的那些电脑，背后也是许多高水平的程序员辛苦编程调试的结果，一台没有装任何软件的计算机是连 1+1 都做不了的。）

小学奥数——需掌握的“20道”经典题*