数学（理）.四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性试题 Word版含答案

绵阳市高中2010级第二次诊断性考试

数 学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线 x+y-1=0的倾斜角是

A．30°                        B．60°                         C．120°                       D．150°

2．计算：1+i+i²+i³+…+i¹⁰⁰（i为虚数单位）的结果是

A．0                B．1                  C．i                 D．i+1

3．已知a、b∈R，那么“ab<0”是“方程ax²+by²=1表示双曲线”的

A．必要不充分条件                                      B．充分不必要条件

C．充要条件                                                D．既不充分又不必要条件

4．为了得到函数 的图象，只需把函数 图象上所有点的

A．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变

B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变

D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

1

正视图

侧视图

俯视图

5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为

A．                         B．

C．                       D．

6．若log_a(a²+1)<log_a2a<0，则a的取值范围是

A．(0， )                  B．( ，1)

C．(0，1)              D．(0，1)∪(1，+∞)

7．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是                                       

A．12种                      B．24种                      C．36种                      D．72种

8．已知椭圆 (a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线 与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是

A．                         B．                          C．                           D．  

9．已知关于x的一元二次方程x²-2x+b-a+3=0，其中a、b为常数，点(a，b)是区域 内的随机点．设该方程的两个实数根分别为x₁、x₂，则x₁、x₂满足0≤x₁≤1≤x₂的概率是

A．                         B．                          C．                         D．

10．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是

A．3或8                     B．8或11                    C．5或8                     D．3或11

 

第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为       人．

开始

输出s

结束

i=6，s=1

i>4？

s=s×i

i=i-1

是

否

12．右图表示的程序所输出的结果是　　　　.

13． 的展开式的常数项是__________.（填写具体数字）

14．我们把离心率之差的绝对值小于 的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线 与双曲线 是“相近双曲线”，则 的取值范围是         .

15．已知函数 ，若对给定的三角形ABC，它的三边的长a、b、c均在函数 的定义域内，都有 、 、 也为某三角形的三边的长，则称 是△ABC的“三角形函数”．下面给出四个命题：

①函数 是任意三角形的“三角形函数”；

②若定义在 上的周期函数 的值域也是 ，则 是任意三角形的“三角形函数”；

③若函数 在区间 上是某三角形的“三角形函数”，则m的取值范围是 ；

④若a、b、c是锐角△ABC的三边长，且a、b、c∈N₊，则 是△ABC的“三角形函数”．

以上命题正确的有         ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数f (x)=(sinx+cosx)²-2sin²x．

（Ⅰ）求f (x)的单调递减区间；

（Ⅱ）A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若 ， =12， ，且b<c，求b、c的长．

17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F．

（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；

D

A

B

C

P

F

E

（Ⅱ）求证：PB⊥平面EFD；

（Ⅲ）求二面角C-PB-D的大小．

18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ．

（Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率；

（Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差，求随机变量X的分布列．

19．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a_n}的首项 ，2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1（n∈N₊，k是不等于1的正常数）．

（Ⅰ）试问数列 是否成等比数列，请说明理由；

（Ⅱ）当k=3时，比较a_n与 的大小，请写出推理过程．

20．（本小题满分13分）动点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和它到直线l：x=4的距离之比是常数 ，O为坐标原点．

（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？

（Ⅱ）已知圆C的圆心在原点，半径长为 ，是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A、B两点，且使等式 成立？若存在，求出m的方程；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）已知函数f (x)=xlnx(x∈(0，+∞))．

（Ⅰ）求 (x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；

（Ⅱ）任取两个不等的正数x₁、x₂，且x₁<x₂，若存在x₀>0使 成立，求证：x₁<x₀<x₂；

（Ⅲ）已知数列{a_n}满足a₁=1， (n∈N₊)，求证： （e为自然对数的底数）．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

绵阳市高中2010级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

CBCAA    BBDAD

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．30     12．30       13．-9           14． ∪     15．①④

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（Ⅰ）f (x)=1+sin2x-1+cos2x= sin(2x+ )，

∴ 当 ≤2x+ ≤ 时，f (x)单调递减，

解得 ≤x≤ ，

即f (x)的单调递减区间为[ ， ](k∈Z)．  ……………………6分

（Ⅱ）f ( )= sin( + )= ，即sin( + )= ，

∴ + = 或 ，即A= 或 （舍）．

由 =c·b·cosA=12，cosA= ，得bc=24．①

z

又cosA= ，得b²+c²=52．

B

A

C

D

E

F

P

G

x

y

∵ b²+c²+2bc=(b+c)² =100，b>0，c>0，

∴ b+c=10，②

联立①②，且b<c，解得b=4，c=6．  ………12分

17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1．

（Ⅰ）连结AC，交BD于G，连结EG．依题意得

A(1，0，0)，P(0，0，1)，E(0， ， )．

∵ 底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，

故点G的坐标为( ， ，0)，

且 ．

∴ ，这表明PA//EG．而EG 平面EDB且PA 平面EDB，

∴ PA//平面EDB．  ……………………………………………………………4分

（Ⅱ）依题意得B(1，1，0)， =(1，1，-1)．

又 ， 故 ．

∴ ．

由已知 ，且 ，

∴ 平面EFD．…………………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ， ，故 是所求二面角的平面角．

设点F的坐标为(x₀，y₀，z₀)， ，

则(x₀，y₀，z₀-1)=k(1，1，-1)，从而x₀=k，y₀=k，z₀=1-k，

∵ =0，所以(1，1，-1)·(k，k，1-k)=0，解得 ，

∴ 点F的坐标为 ，且 ，

∴ ，得 ．

∴ 二面角C-PB-D的大小为 ．…………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，

∵ 甲投篮三次中的次数x～B(3， )，

∴ P(x=1)= ，

甲投篮三次恰好得三分的概率为 ．…………………………………………4分

（Ⅱ）设甲投中的次数为m，乙投中的次数为n，

①当m=0，n=2时，X=-6，

∴ P(X=-6)= ．

②当m=1，n=2或m=0，n=1时，X=-3，

∴ P(X=-3)= ．

③当m=1，n=1或m=0，n=0时，X=0，

∴ P(X=0)= ．

④当m=1，n=0时，X=3，

∴ P(X=3)= ．

∴X的分布列为

X	-6	-3	0	3
P

 

 

 

 

…………………………………12分

19．解：（Ⅰ）由 2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1，可得 = ，

       ∴ = = ，首项为 ．

若 ，即k= 时，数列 为零数列，不成等比数列．

若 ，即k>0，k 1且k 时，

数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．

∴ 综上所述，当k= 时，数列 不成等比数列；当k>0，k 1且k 时，数列 是等比数列．……………………………………6分

（Ⅱ）当k=3时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．

∴ ，即a_n= =1- ，

∴ a_n- =1- -(1- )= - = ，

令F(x) =3^x-3x-4(x≥1)，则 =3^xln3-3≥ >0，

∴ F(x)在 上是增函数．

而F(1)=-4<0，F(2)=-1<0，F(3)=14>0，

∴ ①当n=1和n=2时， a_n< ；

②当n≥3时，3ⁿ+1>3n+5，即 > ，此时a_n> ．

∴ 综上所述，当n=1和n=2时，a_n< ；当n≥3时，a_n> ．…12分

20．解：（Ⅰ）由题意得， ，

化简得： ，即轨迹E为焦点在x轴上的椭圆．    ………………5分

（Ⅱ）设A(x₁，x₂)，B(x₂，y₂)．

∵ =( )?( )= + + + ，

由题知OP⊥AB，故 =0， =0．

∴ = + = - =0．

假设满足条件的直线m存在，

①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x= ，

代入椭圆 ，得y= ．

∴ =x₁x₂+y₁y₂=-2- 0，这与 =0矛盾，故此时m不存在．

②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b，

∴|OP|= ，即b²=2k²+2．

联立 与y=kx+b得，(3+4k²)x²+8kbx+4b²-12=0，

∴  x₁+x₂= ，x₁x₂= ，

y₁y₂=(kx₁+b)(kx₂+b)=k²x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²= ，

∴ =x₁x₂+y₁y₂= + =0．

∴ 7b²-12k²-12=0，

又∵ b²=2k²+2，

∴ 2k²+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在．

综上所述，不存在直线m满足条件．………………………………………13分

21．解：（Ⅰ）由已知有 = ，

于是 ．

故当x∈(-1，0)时， >0；当x∈(0，+∞)时， <0．

所以g(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g(x)的极大值是g(0)=0．   ……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）因为 ，所以 = ，于是

= =

= = ，

令 =t (t>1)， ，

因为 ，只需证明 ．

令 ，则 ，

∴ 在 递减，所以 ，

于是h(t)<0，即 ，故 ．

仿此可证 ，故 ．……………………………………………10分

（Ⅲ）因为 ， ，所以 单调递增， ≥1．

于是 ，

所以 ．  （*）

由（Ⅰ）知当x>0时， <x．

所以（*）式变为 ．

即 (k∈N，k≥2)，

令k=2，3，…，n，这n-1个式子相加得

=

=

，

即 ，所以 ．……………………………………14分