【原】【2012广州一模】(理数-高三年级)

试卷类型：B

广州市        2012届高三年级调研考试

                  数 学（理科）                      2011.12

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1．设全集，集合，，则等于

A．                     B．                           C．                    D．

2．设复数，，则在复平面内对应的点在

A．第一象限       B．第二象限          C．第三象限           D．第四象限

3．已知向量，，若∥，则等于

A．           B．                   C．                   D．

4．等差数列的前项和为，已知，，则的值是

A．24              B．48               C．60                D．72

5．设随机变量，且，则实数的值为

A． 4　           B． 6　             C． 8　         　   D．10

6．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为

A．               B．              C．                 D．

7．已知函数，给出下面四个命题：①函数的最小正周期为；

②函数是偶函数；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是增函数，其中正确命题的个数是

A．1个              B．2个              C．3个              D．4个

8．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是

A．，将函数的图像关于轴对称

B．，将函数的图像关于轴对称Ks5u

C．，将函数的图像关于点对称

D．，将函数的图像关于点对称

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．展开式中的系数为       (用数字作答).

10．向面积为的三角形内任投一点，则△的面积小于的概率是　  　．

11．已知程序框图如右，则输出的=        ．Ks5u

12．已知实数满足若目标函数

取得最小值时的最优解有无数个，则实数的值为_____．

13．已知直线与抛物线相交于、两

点，为抛物线的焦点，若，则的值为      ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点， 

于点，若圆的面积为，，则的长为      ．

15．（极坐标与参数方程选做题）

在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则（为极点）所在直线被曲线所截弦的长度为        ．

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

如图，在中，点在边上，，，

．

（1）求的值；

（2）求的长．

17．（本小题满分12分）

某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为分，“居民素质”得分为分，统计结果如下表：

社区数量		居民素质
		1分	2分	3分	4分	5分
社 区 服 务	1分	1	3	1	0	1
	2分	1	0	7	5	1
	3分	2	1	0	9	3
	4分			6	0	1
	5分	0	0	1	1	3

（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；

（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分的均值（即数学期望）为，求、的值．Ks5u

18.（本小题满分14分）

已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示．

（1）当时，求证：；

（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．

 

19．（本小题满分14分）

设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

20.（本小题满分14分）

已知数列中，，，且．

（1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）求数列的前项和．Ks5u

21．（本小题满分14分）

已知函数．

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．

广州市2012届高三年级调研测试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

      2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

          3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	D	D	A	B	A	D	C	B

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

9．10       10．         11．9         12．          13.        14．1       15．

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（1）因为，

所以．…………………………………………………………2分

因为，

所以．…………………………………………………………4分

因为，

所以 

 ………………………………6分

             ．…………………………………………………………8分

（2）在△中，由正弦定理，得，………………………………10分

所以．……………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区数量为个．………………………………………Ks5u………………………………2分

设这个社区能进入第二轮评比为事件，则．

所以这个社区能进入第二轮评比的概率为．……………………………………………………4分

（2）由表可知“居民素质”得分有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为个、个、个、个、9个．…………………………………………………………6分

所以“居民素质”得分的分布列为：

……………………………………8分

因为“居民素质”得分的均值（数学期望）为，

所以．…………………………………10分

即．

因为社区总数为个，所以．

解得，．…………………………………………………………………………………12分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：根据题意，在中，，，

所以，所以.………………………………………………………2分

因为是正方形的对角线，

所以．………………………………………………………………………………………3分

因为，

所以.………………………………………………………………………………4分

（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，…………………………………………………………5分

则有，，，．

设，则，．………………………………6分

又设面的法向量为，

则即 

所以，令，则．

所以．………………………8分

因为平面的一个法向量为，

且二面角的大小为，………………………………………………………………9分

所以，得．

因为，所以．

解得．所以．…………Ks5u……………………10分

设平面的法向量为，因为，

则，即

令，则．

所以．…………………………………………………………………………………12分

设二面角的平面角为，

所以．……………………………………………13分

所以．

    所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分

解法2：折叠后在△中，，

在△中，．……………………………5分

   所以是二面角的平面角，

    即．………………………………………6分

在△中，，

所以．………………………………………………………………………………………7分

如图，过点作的垂线交延长线于点，

因为，，且，

所以平面．……………………………………Ks5u……………………8分

因为平面，所以．

又，且，所以平面．……………………………………9分

过点作作，垂足为，连接，

因为，，所以平面．…………………………………10分

因为平面，所以．

所以为二面角的平面角．……………………………………………………11分

在△中，，，则，，

所以．………………………………………………………12分

在△中，，所以………………………………………13分

在△中，．

所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

（1）由题设知，，，Ks5u………………………………1分

由，得．……………………………………3分

解得．

所以椭圆的方程为．…………………………………………………………4分

（2）方法1：设圆的圆心为，

则 ………………………………………………………………6分

           ……Ks5u……………………………………………7分

．………………………………………………………………8分

从而求的最大值转化为求的最大值．………………………………………………9分

因为是椭圆上的任意一点，设，…………………………………………………10分

所以，即．…………………………………………………………11分

因为点，所以．……………………………12分

因为，所以当时，取得最大值12．……………………………13分

所以的最大值为11．………………………………………………………………………14分

方法2：设点，

因为的中点坐标为，所以 ………………………………………………6分

所以……………………………………………7分

          

          

          ．…………………………………………………9分

因为点在圆上，所以，即．………………………10分

因为点在椭圆上，所以，即．…………………………………11分

所以．……………………………………………12分

因为，所以当时，．………………………………14分

方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………………………6分

由，解得．………………………………………………………7分

因为是椭圆上的任一点，设点，

所以，即．…………………………………………………………8分

所以，

                                        ……………………………………………………9分

所以．

                                       ……………………………………………………10分

因为，所以当时，取得最大值11．…………………………11分

②若直线的斜率不存在，此时的方程为，

由，解得或．

不妨设，，．…………………………………Ks5u…………………12分

因为是椭圆上的任一点，设点，

所以，即．

所以，．

所以．

因为，所以当时，取得最大值11．…………………………13分

综上可知，的最大值为11．………………………………………………………………14分

20．（本小题满分14分）

（1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列，

则有．                                    ①……………………………………1分

由，，且，得，．

所以，，，………………2分

所以，

解得或．…………………………………………………………………………………3分

当时，，，且，

有．………………………………………………4分

当时，，，且，

有．…………………………………………5分

所以存在实数，使数列为等比数列．

当时，数列为首项是、公比是的等比数列；

当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分

方法2：假设存在实数，使数列为等比数列，

设，……………………………………………………………………………………1分

即，……………………………Ks5u………………………2分

即．………………………………………………………………………3分

与已知比较，令………………………………………………………4分

解得或．…………………………………………………………………………………5分

所以存在实数，使数列为等比数列．

当时，数列为首项是、公比是的等比数列；

当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分

（2）解法1：由（1）知，……………………………………7分

当为偶数时，…………………………8分

                …………………………………………………………9分

                ．…………………………………………………10分

当为奇数时，………………………………11分

                …………………………………………………………12分

                ．……………………………………………13分

故数列的前项和………………………………………14分

注：若将上述和式合并，即得．

解法2：由（1）知，…………………………………………………7分

所以，……………………………………………………8分

当时， 

            

            ．

因为也适合上式，……………………………………………………………………………10分

所以．

所以．…………………………………………………………………………11分

则，………………12分

……………………………………………………………13分

    ．……………………Ks5u………………………14分

解法3：由（1）可知，…………………………………………………7分

所以．…………………………………………………………………………8分

则，……9分

当为偶数时，………………………………………10分

                ．……………………………………………11分

当为奇数时，………………………………12分

                ．………………………………………13分

故数列的前项和………………………………………14分

注：若将上述和式合并，即得．

21．（本小题满分14分）

解：（1）．……………1分

       因为为的极值点，所以．…………………………………………………2分

       即，解得．……………………………………………………………………3分

       又当时，，从而的极值点成立．……………………………4分

（2）因为在区间上为增函数，

       所以在区间上恒成立．…………………5分

       ①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故

符合题意．………………………………………………………………………………………………6分

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，

所以上恒成立．…………………………………7分

       令，其对称轴为，……………………………8分

       因为所以，从而上恒成立，只要即可，

    因为，

       解得．………………………Ks5u……………………………………9分

因为，所以．

综上所述，的取值范围为．………………………………………………………10分

（3）若时，方程可化为，．

       问题转化为在上有解，

       即求函数的值域．…………………………………………………………11分

以下给出两种求函数值域的方法：

方法1：因为，令，

       则 ，…………………………………………………………12分

    所以当，从而上为增函数，

    当，从而上为减函数，…………………………………………13分

    因此．

       而，故，

    因此当时，取得最大值0．…………………………………………………………………14分

方法2：因为，所以．

设，则．

       当时，，所以在上单调递增；

       当时，，所以在上单调递减；

       因为，故必有，又，

    因此必存在实数使得，

    ，所以上单调递减；

      当，所以上单调递增；

      当上单调递减；

    又因为，

       当，则，又．

    因此当时，取得最大值0. ……………………………Ks5u…………………………14分