2014广东省高考压轴卷文科数学试题及答案

2014广东省高考压轴卷文科数学

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 为锥体的高．

 

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合 ， ，则

A．                        B．                   C．                     D．

2．函数 的定义域是

A．                                                    B．

C．                                   D．

3．若复数 ， ，则

A．                                                        B．

C．                                                     D．

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A．               B．                   C．                    D．

5．已知平面向量 ， ，且 ，则

A．                B．                      C．                     D．

6．阅读如图1的程序框图，若输入 ，则输出 等于

A．8

B．12

否

是

输入m

输出S

结束

S=0,i=1

S=S+2i

i=i+1

i<m

开始

图1

C．20

D．30

7．“ ”是“ ”成立的

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件

D．充要条件

 

 

8．以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程是

A．

B．

C．

a

2a

a

正视图

左视图

俯视图

图2

D．

9．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是

A．                      B．

C．                    D．

10．已知变量 ， 满足约束条件 ，目标函数 仅在点 处取得最小值，则 的取值范围是

A．              B．                  C．                  D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．在等差数列 中，已知 ， ，则 _________．

12．某校高三年级共1200人．学校为了检查同学们的健康状况，随机抽取了高三年级的100名同学作为样本，测量他们的体重（单位：公斤），体重的分组区间为[40,45），[45,50），[50,55），（55,60），[60,65]，由此得到样本的频率分布直方图，如图3．根据频率分布直方图，估计该校高三年级体重低于50公斤的人数为_________．

40    45  50  55  60  65

体重/公斤

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02

图3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13．已知 分别是 的三个内角 所对的边，若 ， ， ，则 _________．

（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）

A

C

B

D

O2

O1

图4

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 中，曲线 与 的交点的极坐标为________．

15．（几何证明选讲选做题）如图4，圆 和圆 相交于 两点，过 作两圆的切线分别交两圆于 两点，已知 ，则 _________．

 

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知函数 ， .

（1）求 的值；

（2）求 的最小正周期；

（3）设 ， ， ．求 的值．

 

 

 

 

17．（本小题满分13分）

某校高二年级在3月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：

文科考生	60	35	19	6
理科考生	90	55		9

已知在全体考生中随机抽取1名，抽到理科考生的概率是 .

2   4

0   5   8

1

13

12

11

图5

（1）求 的值；

（2）图5是文科考生不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名文科考生的语文成绩的平均分、中位数；

（3）在（2）中的6名文科考生中随机地选2名考生，求恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率．

 

 

 

 

 

18．（本小题满分14分）

P

A

B

C

D

E

图6

如图6，四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， 为 上一点， ， ．

(1)   证明： ；

(2)   求三棱锥 的体积．

 

 

 

 

 

19．（本小题满分12分）

数列 的首项为1，且前 项和 满足 ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）记 ，求数列 的前 项和 ．

 

 

 

20．（本小题满分14分）

已知点 ，点 是 关于原点的对称点．

（1）若椭圆 的两个焦点分别为 ， ，且离心率为 ，求椭圆 的方程；

（2）若动点 到定点 的距离等于点 到定直线 的距离，求动点 的轨迹 的方程；

（3）过点 作（2）中的轨迹 的切线，若切点在第一象限，求切线 的方程．

 

 

 

21．（本小题满分14分）

已知函数 ．

（1）讨论 的单调性；

（2）求函数 在区间 上的最小值 ．

 

 

 

 

 

 

2014广东省高考压轴卷

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】A

【解析】 ．

2．【答案】D

【解析】∵ ，∴ ，∴函数 的定义域是 ．

3．【答案】B

【解析】 ．

4．【答案】C

【解析】A是奇函数但不是增函数；B既不是奇函数也不是偶函数；C既是奇函数又是增函数；D是偶函数．

5．【答案】D

【解析】 ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．

6．【答案】C

【解析】根据程序框图， ．

7．【答案】A

【解析】∵ ，∴ 或 ，∴“ ”是“ ”成立的充分非必要条件．

8．【答案】B

【解析】∵圆心到直线的距离为 ，∴所求圆的方程是 ．

9．【答案】A

【解析】根据三视图，该几何体为 个圆锥，且底面半径为 ，高为 ．∴体积是 ．

10．【答案】D

【解析】画出可行域（如图），目标函数向上平移至点 时，取得最小值，∴ ，∴ ．

A

x

y

O

B

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

11．【答案】

【解析】∵ ，∴ ，∴ ．

12．【答案】480

【解析】估计该校高三年级体重低于50公斤的人数为 ．

13．【答案】2

【解析】根据余弦定理可得 ，解得 ．

14．【答案】

【解析】 化为直角坐标方程 ， 化为直角坐标方程 ．联立解方程组 ，解得 ，∴ ，又 ，∴ ．∴交点的极坐标为 ．

15．【答案】

【解析】由 与圆 相切于 ，得 ，同理 ，

所以 ∽ ，∴ ，即 .

 

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分13分）

解：（1） ．    …………………………………2分

（2） 的最小正周期是 ．          ……………………………………………4分

（3）∵ ，∴

∵ ，∴

∵ ，

∴ ，

∴ ．  ………………………13分

17．（本小题满分13分）

解：（1）依题意 ，∴ ．     …………………3分

（2）这6名文科考生的语文成绩的平均分为

中位数为               ……………………………………………………………7分

（3）从6名文科考生中随机地选2名考生，基本事件有：（111,120），（111,125），（111,128），（111,132），（111,134），（120,125），（120,128），（120,132），（120,134），（125,128），（125,132），（125,134），（128,132），（128,134），（132,134）．共15种．

记“恰有一名考生的语文成绩在130分以上”为事件A，其中有（111,132），（111,134），（120,132），（120,134），（125,132），（125,134），（128,132），（128,134）．共8种．

∴恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率为 ．       ………………………13分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：过 作 的垂线交 于 ，则 ， ，

P

A

B

C

D

E

F

在 中， ，

在 ， ．

在 ，∵ ，∴

∵ ， ，∴

又

∴    ……………………………………………………………………………8分

（2）解：∵ ， ，

∴四边形 是梯形，

∴ ，

∴ ．

∴ ．      …………………………………14分

 

19．（本小题满分12分）

解：（1）∵ ．

∴数列 构成一个首项为1，公差为1的等差数列

∴

∴

当 时，

当 时， ，符合上式

∴ ．   …………………………………………………………………………………6分

（2）∵

∴ ①

①×2得 ②

②－①得

     …………………………………………………12分

20．（本小题满分14分）

解：（1）依题意，设椭圆 的方程为

∵

∴

∴椭圆 的方程为       ……………………………………………5分

（2）依题意，动点 的轨迹为焦点 的抛物线，

∴抛物线 的方程为 ．……………………………………………………………………8分

（3）设切点 ．由 ，知抛物线在 点处的切线斜率为 ，

∴所求切线方程 ，

即 ．

∵ 的焦点 关于原点的对称点 ．

∴点 在切线上，

∴ ，

∴ 或 （舍去）．

∴所求切线方程为 ．……………………………………………………………………14分

21．（本小题满分14分）

解：（1） ．

① 时， ， 在 上单调递增；

② 时， ．

令 ，得 ， ．

∴ 时， ； 时， ； 时， ．

∴ 在 ， 上单调递增；在 上单调递减．       …………………8分

（2）① 时，由(1)知 在 上单调递增，

∴ 在 上单调递增，

∴ 在 处取得最小值，且 ．

② 时，

（i）当 ，即 时，由（1）知 在 上单调递减， 上单调递增，

∴ 在 处取得最小值，且 ．

（ii）当 ，即 时，由（1）知 在 上单调递减，

∴ 在 处取得最小值，且 ．

综上所述，   …………………………………………………14分