2016年高考全国2卷（甲卷）数学文理科压轴题详解

理科第12题（选择压轴题）：

已知函数()满足，若函数与的图象的交点为，则（　　）

A．

B．

C．

D．

正确答案是B．

分析与解　根据题意，函数和函数都关于点对称，不妨设，那么有点与点，点与点，都关于点对称，即且从而倒序相加，可得

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理科第16题（填空压轴题）：

若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 _____．

正确答案是．

分析与解　函数的导函数为，函数的导函数为．设曲线和曲线上的切点横坐标分别为，如图：

该直线方程可以写成也可以写成整理后对比得解得因此．

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理科第20题（解析几何）：

已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为()的直线交于两点，点在上，．

(1) 当，时，求的面积；

(2) 当时，求的取值范围．

解　根据题意画出示意图如图．

(1) 当时，是等腰直角三角形．根据椭圆的对称性，可知，又时，点的坐标为，因此直线的方程为，与椭圆的方程联立，可得于是点的纵坐标为，进而可得的面积

(2) 记，()，则直线的方程为，与椭圆的方程联立可得从而点的纵坐标为，因此点的纵坐标为因此由可得整理得根据题意，有，因此解得因此的取值范围是．

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理科第21题（解答压轴题）：

(1) 讨论函数的单调性，并证明当时，；

(2) 证明：当时，函数()有最小值．设的最小值为，求函数的值域．

解　(1) 函数的定义域为，其导函数于是函数在和上都单调递增．当时，有，即即

(2) 函数的导函数为令，则结合第(1)小题结论，在上有唯一零点．进而可得函数在上单调递减，在上单调递增，因此也为函数的极小值点，亦为最小值点．因此当时，函数有最小值．由于也即当时，有．进而函数的最小值令()，则其导函数因此函数在上单调递增，从而函数的值域，即函数的最小值的取值范围是，也即．

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文科第12题（选择压轴题）：

已知函数()满足，若函数与的图象的交点为，则（　　）

A．

B．

C．

D．

正确答案是B．

分析与解　与理科第12题类似，函数和都关于直线对称，不妨设，则点与点，点与点，都关于直线对称，即因此倒序相加可得

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文科第16题（填空压轴题）：

有三张卡片，分别写有和，和，和. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是_____．

正确答案是和．

分析与解　用来表示三张卡片．根据甲的发言可知丙的卡片一定不是，再根据丙的发言可知丙的卡片是．此时由乙的发言可知乙的卡片是，于是甲的卡片是，因此甲的卡片上的数字是和．

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文科第20题（导数）：

已知函数．

(1) 当时，求曲线在处的切线方程；

(2) 若当时，，求的取值范围．

解　(1) 当时，，函数的导函数因此，从而所求的切线方程为，也即．

(2) 题中不等式即记左侧函数为，则，其导函数分析端点可知分界点为．

情形一　．此时记右侧函数为，则其导函数因此在上单调递增，又，因此在上，有，符合题意．

情形二　．此时在区间上有，又，因此在该区间内，不符合题意．

综上所述，的取值范围是．

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文科第21题（解答压轴题）：

已知是椭圆的左顶点，斜率为()的直线交于两点，点在上，．

(1) 当时，求的面积；

(2) 当时，证明：．

解　根据题意画出示意图如图．

(1) 当时，是等腰直角三角形．根据椭圆的对称性，可知，点的坐标为，因此直线的方程为，与椭圆的方程联立，可得于是点的纵坐标为，进而可得的面积

(2) 记()，则直线的方程为，与椭圆的方程联立可得从而点的纵坐标为，因此点的纵坐标为因此由可得整理得设函数()，则其导函数因此函数单调递增．考虑到而因此函数有唯一零点且该零点在区间上，进而可得，也即．

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