(转） 经典文献：数学解题的有意义学习(涂荣豹教授)
摘要：解决数学问题的学习是寻求解决数学问题方法的一种心理活动，是一种高级形式的学习活动。数学解题学习是有意义发现学习的数学解题认识观。数学的解题认知结构由解题知识结构、思维结构和解题元认知结构组成，“理解题意和解题回顾”是数学解题有意义学习的最重要环节。
关键词：有意义学习；发现学习；解题认知结构；解题知识块；解题元认知结构
解决数学问题的学习是寻求解决数学问题方法的一种心理活动，是一种高级形式的学习活动。数学的解题活动主要是利用认知结构(知识结构和思维结构)对抽象的形式化思想材料进行加工的过程，是教学符号及数学命题在人大脑里的内部操作过程，也就是一种数学的思维活动。数学问题的解决正是经过思维的中介作用而达到的。数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会“数学地思维”。学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义。虽然有关数学解题学习的问题已有很多研究，但大多集中于具体的解题方法方面，本文则旨在对数学解题学习的心理学意义作深入探讨。
1．数学解题学习的基本认识观
1．1 “尝试错误式”与“顿悟式”解决问题
关于解决问题的心理学见解，行为主义心理学派倾向于用“尝试错误”来解释问题的解决，认知心理学派则倾向于用“顿悟”来解释问题的解决。所谓“尝试错误武”解决问题，就是在遇到新的陌生问题时，学习者将自己经验中与新问题有关的材抖(有关的知识，有关的问题类型和有关的方法)集中起来做出尝试，或者按照新问题与熟悉问题的相同成分做出尝试，或者按照新问题的情境与过去遇到的情境的相似方面做出尝试，如果尝试失败，就进行新的尝试，从积累的全部经验中做出一个又一个尝试，直到问题解决。“尝试错误式”解决问题是以“尝试一错误一再尝试……”的方式进行，直到“碰巧成功”，其中虽也有与过去经验联系的成分，但主要还是盲目的无定向过程。所谓“顿悟式”解决问题，是指在遇到新的陌生问题时，学习者按照一定的“心向”致力于发现问题条件与目标之间在意义上的联系，并努力发现新问题与自己拥有的解题手段之间在意义上的联系，一旦发现这种意义上的联系，顿悟就产生了。不过“顿悟”说的难圆其说在于，其所谓的“一旦发现”比较玄妙，尤如从天而降。“顿悟式”的积极意义在于其比较注意重组情境的认知成分，这与现代认知心理学的“问题表征方式转变理论”强调对问题意义的理解和表征较为接近。后一理论揭示，人在解决问题时，往往根据问题本身的提示来表征问题，并在相应的问题空间中进行搜索。在这个问题空间中，潜在可能的新表征方式很多，一旦在搜索中发现“对等性”表征，顿悟就产生了。显然这个“搜索”的过程不能排除“试误”的成分。这两种解决问题的方式的本质差异在于：“尝试错误式”的解决问题，倾向于从问题的表面形式出发做出反应；“顿悟式”解决问题，是倾向于从问题的实质意义出发做出反应。“尝试错误式”对解决问题的描述，其实并非不符合人的实际解题探索过程，关于这点认知学派也并不反对。但“尝试错误式”解题的要害在于，学习者即使拥有解决新问题的各方面经验，也并不能保证能用这些经验去解决新问题，很可能是问题用某一种方式提出，学习者能够解决。然而因为没有发现问题与解决问题的方法之间意义上的联系，于是当同一问题改用另一方式提出时，尽管所需要的旧经验是一样的，但学习者会因为找不到与旧经验意义上的联系而束手无策。这也正是当前中学生所普遍存在的，在大量训练以后仍然不能有效解决问题的本质原因之所在。实际上，没有绝对的“尝试错误”，也没有绝对的“顿悟”。“尝试错误式”解决问题中，在经过了多次尝试以后，往往由于忽然发现了新问题与旧经验之间意义上的联系，而得到了问题的解决。尽管这种意义上的联系是被动的发现，不是主动追求的结果，但这其中不能排除“顿悟”的成分。另一方面，“顿悟式”解决问题，表面上看去解答是突然出现的，事实上却是经历了一定的、甚至相当曲折的过程，很难否认其中也有“尝试错误”的成分。所以，表面上看不出是“尝试错误”的过程，也未必就是纯粹“顿悟式”的解决。
1．2 数学解题学习是有意义学习
上述分析表明，在解题学习中，无论“尝试错误式”解题，还是“顿悟式”解题，都必然要与学习者已有的解题经验相联系，只是在“联系”的水平上存在差异(表面形式上的、意义上的)。换句话说，学习者在解决问题的学习中，必须要以已有的解题经验为基础，同时要在新问题与旧经验之间建构起意义上的联系。因此根据有意义学习的理论[1]，有理由认为数学解题学习是有意义学习，其实质应该是：学习者在数学新问题与自己解题认知结构中的适当知识之间，建构起非人为和实质性的联系。学习者的解题认知结构中除了包括已有的解题经验以外，还包含有影响数学解题学习的其他因素。数学解题作为有意义学习的过程，包含着新旧知识的同化与顺应，新旧问题意义的同化与顺应，新旧解题方法的同化与顺应，新旧解题策略的同化与顺应等。所谓数学有意义的解题学习，也就是在所有这些新旧两方面之间，建构起非人为和实质性的联系的过程。要实现数学解题的有意义学习，首先是新问题对学习者是否具有潜在的意义，也就是新问题所涉及的知识、方法、策略和思想应是学习者已经获得意义的，已经储存在学习者解题认知结构中的。其次，学习者要运用达到一定水平的一般思维动作和数学特殊思维动作，将数学新问题与自己认知结构中的有关方面的“切合性”做出识别。再次，学习者在新问题涉及的知识、类型、方法、策略、思想与原认知结构中的有关方面建构起非人为和实质性的联系，那么在问题得到解决的同时，原有的解题认知结构也得到了改组和重构。目前的数学教学中，比较普遍的情况是教师提供的问题对学生常常不具有潜在意义，他们往往在新知识初次教学以后，就把升学要求的问题甚至是竞赛水平的问题拿给学生去做，这时学生不仅对新知识的同化过程还没完成，新知识的意义还没真正获得，而且就新问题涉及的策略、思想、方法等而言，学生的解题认知结构中可与之建立非人为和实质性联系的已有策略、思想、方法极少或者没有，因而学生在这样的解题中根本无法实现有意义学习。强行而为之，只能是机械学习。
1.3 数学解题学习主要是有意义的发现学习
如果数学知识可以通过有意义的接受学习来获得意义的话，那么数学解题则不可能通过接受学习来获得意义，即数学解题的各种方法、技巧、模型、策略和思想，不可能靠教师讲解几个例题。把问题的现成解法呈现给学生，然后学生进行积极的“同化”就可以获得意义，就可以依葫芦画瓢地解决所有的问题。这种解题学习只能是机械模仿，只能应付一些定式的常规问题。数学解题学习最有效的方法是“在解题中学习解题”，即在尽可能不提供现成结论的前提下，亲自独立地进行数学解题活动，从中学习解题，学会“数学地思维”，哪怕解题最终没有到底，也会有所发现，有所体验。因此数学的解题学习主要是有意义的发现学习。数学解题学习是一个解题经验积累的过程，其中包括了各类“解题策略经验”、“问题策略经验”以及各种“方法和技巧性经验”。解题策略经验包括有意向性策略、合情推理策略和数学思想策略。问题策略经验是关于一些典型问题的类型及其解决的基本方法。这也是今后解题联想的基础。
但是这些方面经验不是依赖于记忆教师或者别人的传授，“经验、经验”，不“经”何能有“验”?没有亲身经历就不可能获得经验。数学问题的解决往往在“一念之间”，这“一念”一旦点破，问题迎刃而解，这是数学解题学习的一个极为特殊之处。根本的问题是，这“一念”是由别人点破，还是自己攻破?别人点破则毫无价值，自己攻破对解题学习才有积极意义。数学解题的学习就是要练就这种“点石成金”之功，然而数学解题的“点石成金”之功，基本不是被教会的，而是独立感悟出来的，是在长期的亲身实践中积极探索、努力发现、不断概括、逐步积累才能获得的。这无疑是一种典型的有意义发现学习的过程。大凡解题能力较强的人，遇到稍难一点的问题绝不急于看解答，而是必先自己独立地作一番研究直至解决，正是说明了这个道理。这样形成的经验才可能有较强的和广泛的迁移性。所以解题经验的获得和积累必须通过有意义的发现学习才能实现，而对问题条件和结论的理解才可能与有意义的接受学习有关。
2. 数学题解学习的认知结构
由于数学解题学习是有意义的发现学习，所以按照有意义学习理论，必然是，解题者已有的解题认知结构对整个解决问题的过程起着决定性的作用。那么解题认知结构是怎样构成的呢?
2.1 数学解题学习的认知结构
数学的解题认知结构由解题知识结构、思维结构和解题元认知结构组成。它是人的认知结构的一部分，也可看作是人的认知结构的子结构。
2.1.1 解题的知识结构
任何数学的解题活动都与一定的知识背景相联系。解决数学问题就要辨别问题、分析条件，这必然涉及数学有关的概念、定理、法则、公式等。这些知识是任何探索技能所不能代替的。因此，解题的一个必要前提就是解题者要拥有一个组织良好的数学知识结构。波利亚指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至比知识的广泛更为重要……，把你记忆里的知识安放得有条不紊只会对你有更多的帮助。”[2]可见组织良好的数学知识结构对数学解题学习十分重要。组织良好的数学知识结构，应该丰富而广博，并按一定的网络结构组织得高度分化和综合贯通，这有利于在数学问题的内容与适当的数学知识之间建立非人为和实质性的联系。所谓解题知识块[3]，就是将已解过的问题类型及其解决方法以形成整体、构成一定的“知识块”来掌握和储存。象棋大师与常人相比，重要的区别在于，在象棋的布局和行棋方面，他们的头脑里贮存着大量的行棋“知识块”一一关于棋子各种布局的整体知识。于是对弈时一旦出现一种布局可以纳入他的某一知识块时，对以后的每一步行棋，他就了如指掌了。在数学解题学习中，也有一个“数学知识块”和“解题知识块”贮存的问题。数学知识和解题知识“整块”地贮存，有利于知识的运用，有利于解题能力的提高，这种“知识块”越大、越多，解决数学问题的能力就越强。例如，关于“三角函数大小与角的取值范围”的知识块，关于“函数及其图像、方程及其曲线的初等变换”的知识块，关于“直线的平行、垂直与直线抽象表达形式”的知识块等。每个解题知识块都包括：问题的类型、基本数学模式、基本问题、一般的方法和特殊的技巧等。
2.1.2 解题知识块的形成
形成数学的解题知识块有两种基本方式。第一种方式是按照“归类”的方式形成解题知识块。人们在过去的实践中所获得的知
识，在头脑里往往是“归类”贮存的。在面对一个问题时，总是遵循一个基本模式：先确定“类别”，即把当前的问题归结为先前已经认识的某一“类型”，进而借助这种“归类”，把贮在人脑里的关于这一类型问题的知识调动起来，从而为解决当前的问题提供必要的基础[3]。因此，形成“解题知识块”就归结为：我们应当如何去对已解决的问题归类?对此。可以采纳波利亚的建议：按问题关键事实归类(如判定定理)；按具有相同未知量或已知量对问题归类；接具有相同结论对问题归类；按具有相同方法对问题归类；按共同的思维模式对问题归类；按数学结构对问题归类[2]。“归类”而形成的“解题知识块”有利于解题中在新旧两方面建立非人为和实质性的联系，也有利于对新问题“归类”。第二种是对每一类数学问题都尽可能地形成一种或几种“解题模式”。尤如每个乒乓球
运动员各自都形成了许多“成套的技术动作”一样。比如，“发球抢攻”有一套技术动作，“对付下旋球”也有一套技术动作，“对付上旋球”又有一套技术动作等等。动作套路越多、越熟练，技术就越全面、越精湛，就越能克敌制胜。数学解题也是如此，解题者掌握的解题模式越多，掌握模式的解决方法越多、越熟练，那么解决数学问题的能力就越强。因此，根据数学解题学习主要是学习“启发性模式和方法”的思想[2]。可以按照“问题的探究策略”形成解题知识块。例如：“将问题特殊化”的探究策略模式；“将问题一般化”的探究策略模式；“不完全归纳”的探究策略模式；“完全归纳(分类讨论)”的探究策略模式；“寻找或设计反例”的探究策略模式；“等价或不等价转化”的探究策略模式；“数形结合”的探究策略模式；“类比联想”的探究策略模式；“建立数学模型”的探究策略模式等。按照“问题的探究策略”形成的解题知识块有利干有效地对新问题进行“模式识别”。
2.2 数学解题的思维结构
解题者对一般思维动作和数学特殊思维动作掌握的情况和运用的水平,往往直接影响数学解题中各种思维模式的运用。一般思维动作是指各个学科都使用的思维动作。包括：分析、综合、比较、类比、抽象、概括、一般化、特殊化、猜想、验证等等；数学的特殊思维动作主要用于数学活动领域，包括：心理操作性的，方法技巧性的，策略定向性的，思想观念性的。解题的过程中最基本的心理操作是归入概念、推出性质、重新理解[4]、模式识别[5]。归入概念，是把问题中的一些特征加以适当组织而归为某一个数学概念；推出性质，是由问题中涉及的概念或新归入的概念，推出该概念具有的各个性质；重新理解，则是根据新归入的概念和新推出的性质对问题的整体或部分做出新的理解和认识；模式识别，则是根据问题对象的视觉组合结构、概念特征结构、关系网络结构，将问题纳入适当的数学模式之中。当面临一个问题时，有时从某一具体的数学思想出发，决定了探索解法的方向，比如根据函数的思想决定要建立一个目标函数，这使用的是属于思想观念性的思维动作；然后，是用类比还是用归纳去建立这个目标函数，则是策略定向性思维动作在发挥作用；找到目标函数以后，还要更加具体地研究函数的定义域、值域，或者反函数、单调性、奇偶性、周期性、最值等，这时则是使用方法技巧性思维动作。显然，其中每一种教学的特殊思维动作的运用无不需要一般思维动作的帮助，没有一般思维动作的运用，就无法对每一步数学的特殊思维动作做出正确的选择。
2.3 数学解题的元认知结构
篇幅所限,另文阐述。
3. 数学解题学习的两个最重要环节
一般地说，在G.波利亚著名的“4 阶段数学解题表”[4]中,往往最受重视的是“制定解题计划”阶段,然而就“学习解题”而言,最重要的应该是“理解题意”阶段和“解题回顾”阶段,它们是最终学会制定解题计划的前提和基础。从表面上看，学生不会解题是在制定解题计划上出了问题,实质是没有在“理解题意”和“解题回顾”上下功夫的结果。在数学解题学习中,学生的主要任务并不是解题,而是学习解题,因此教师教的重点和学生学的重点,不在于“解”而在于“学解”。以“解”作为出发点，注重的是解题的结果；以“学解”作为出发点，注重的则是解题的过程。无论是理解题意的学习、制定解题计划的学习，还是实现解题计划的学习，一个十分重要的途径是从“解题回顾”中来学，也就是从解题后的反思中来学[7].
3.1 “理解问题”是解题学习的第一环节
解题第一位的无疑是理解问题，但它却往往被学习者所忽视。比较普遍的情况是,匆匆读题以后就急于下手，实际上这时对问题的意义、涉及的概念、相关的知识都不甚了解。解题的结局可想而知。一位数学家说过，善于解题的人用一半时间来理解问题，只用另一半时间完成解答，可见理解题意在解题中地位之重要。一般说，理解问题有两个层面：一个是对问题的表层理解，指解题者逐字逐句读懂描述问题的句子，读懂的标志是他能用自己的语言重述问题，实际上是把问题中的每一陈述能变成解题者内部的心理表征；另一个是对问题的深层理解，指在问题表层理解的基础上，进一步把问题的每一陈述综合成条件、目标统一的心理表征。问题的深层理解，需要根据对各种类型问题一般特征的概括和当前问题的基本特征，利用解题认知结构中适当的解题知识块，才能识别问题的类型。问题表征有各种各样的方式，例如布鲁纳认为有动作表征、图像表征和符号表征三种基本的表征模式[8]。每一形式的表征依赖于个体不同的知识(包括经验)，而且可引出不同的知识和策略，导致产生不同的解法(例如2001 年高考14 题。形象思维类型一一图像表征解法。抽象思维类型一一符号表征解法)。人们在解答复杂的数学题时，并不是只靠单一形式的表征，往往是选用几种或几种的组合形式来表述问题(上述相应的图像与符号表征相结合的解法)，直至最后解出。对于某一特定的数学问题而言，在若干的表征之中，可能某一种方式的表征比其他形式的表征更有效。因为不同表征能激活长时记忆中的不同事实和程序，其结果会直接影响到解题成功与失败。
问题表征阶段的结果主要有两种。第一种，如果对问题的表征能促使联想起一个有效的解题知识块，那这种表征就完成了问题的解决。这种表征使得问题得到了重新组织或重新归类，从而联想起了一个可行的解决方案，也就是这种表征激活了一个适当的解题知识块，解决方案跃然而出。在某种意义上说，这实际并没有真正解决一个新问题，而只是再认了一个由旧问题乔装打扮而成的新问题而已。这种对问题的表征，实际是将新的问题情境与头脑中解题认知结构的相关方面建构起了非人为和实质性的联系。第二种，如果并没有一个现成的解题知识块能被联想起来成为有效的解答方案，那么就得遵循探求解答的“尝试+顿悟”的路线去探索，当然，这条路径可能充满艰辛和坎坷，但有时却是唯一的路，一条创新发明的路，一条可以获得“点石成金”之功的路。按信息论的观点，理解题意就是从问题的情境中“如何获取信息”和“如何加工信息”。“理解题意”的第一步是从题意中获取信息，获取信息的主要方法是检索信息的搜索信息。检索就是分检、辨析，就是对众多的信息加以区分和辨认。搜索则是抽取、捕捉，就是抽取和捕捉闪烁于题设字里行间的不很明确的信息。在检索和搜索信息的过程中，每一个名词符号都是信息，每一句语义都是信息，所涉及的各种对象之间的关系也是信息，要真正弄清它们的意义，就要辨认哪些信息是自己熟悉的，哪些信息是自己所知道但不很明了的，哪些信息是自己不明白的。尤其注意不要被信息的表面形式所迷惑，对熟悉的信息要展开广泛的联想，不要遗漏信息的每一种含义，对不很明了或不明白的信息，属于概念性知识性的，要重温课本、钻研教材、分析原因；属于问题本身新出现的名词概念，要反复阅读问题，深入钻研问题内容，发掘新名词概念的含义。加工信息，就是以发散性加工或收敛性加工的方式解释、组织和转化信息。数学问题
一般都以十分严谨而精炼的数学语言表述，因此解释信息，就成为理解题意的一项非常重要的工作。首先要用自己的语言重述问题，即用自己熟悉的方式对问题重新编码，使得许多问题成分变为自己熟悉的信息。“组织信息”就是将获取的信息重新加以组合，常常是按照原来的信息组织并不能看出其中对解题有价值的联系，而重新组合以后，一些有价值的联系就变得一目了然。“转化信息”就是对信息进行变形、改造，因为题设中有的信息并不能直接用来解决问题，必须转化成新的信息才能成为达到问题目标的有价值的信息。
3.2 “解题回顾”是数学解题学习最重要环节
由于数学解题学习是有意义学习，因此良好的解题认知结构是至关重要的。虽然良好的解题认知结构在长期的解题实践中逐步形成和发展，但是大多是在不知不觉中，在潜移默化中被动地进行。元认知理论告诉我们，作为数学解题的有意义学习，必须要使形成良好解题认知结构的过程成为学习者主动自觉的过程。解题认知结构的建立和改造有三大环节：知识网络建构、解题实践活动和策略经验积累，其中策略经验的积累在解题学习中最为重要，教师应该不但要指导学生积累解题经验，更要教会学生如何积累解题经验。因为大部分的解题活动都是学生自己独立进行，学生如果不能学会自己主动而有效地积累解题经验，就不可能真正实现数学解题的有意义发现学习。解题策略经验的积累主要在解题活动的最后一个阶段——“解题回顾”的过程中获得。对于“学习解题”而言，学生完成了解题过程，并不意味一次“解题学习”活动的结束，对解题的真正学习是“解题回顾”。这如同知识获得的保持阶段一样，它是解题学习的“保持阶段”。在这一阶段，新旧两方面，包括相关知识、问题意义、解题方法、思考策略等意义的同化还在继续，新旧两方面非人为和实质性的联系还在继续强化，这一过程使知识更加巩固，方法更加熟练，思想和策略更加分化和综合贯通，从而达到获得新的解题策略、思想、方法的心理意义，整个解题认知结构得到进一步重构和完善。解题回顾的过程中，不仅要回顾有关知识、解题方法以及理解题意的过程，而且更要回顾：一开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误等。久而久之就可以总结出带有规律性的经验。这些带有规律性的经验，有的是解题的策略。有的是解题的元认知知识，它们都是今后解题的行动指南。在题海战术教学中，学生是马不停蹄地做题，教师教学中几乎没有真正意义上的解题回顾，学生就更不知道需要和如何解题回顾，何况面对排山倒海而来的题目，连完成做题的时间都不够，哪有时间来解题回顾。所以在教学中，不妨借鉴“时间等待”理论的思想，提倡一定要留出充分的时间让学生把“解题回顾”完成。古人云：工欲善其事，必先利其器。解题回顾就是磨砺解题武器的过程，它所起到的举一反三的作用，胜过做十道题。
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