转置矩阵，逆矩阵和倒转置矩阵

Tech-d 2013-05-17

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单位矩阵：

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \0 & 1 & 0 \0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \0 & 1 & \cdots & 0 \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

转置矩阵(transpose matrix)

在线性代数中，矩阵A的转置是另一个矩阵A^T（也写做A^tr, ^tA或A′）由下列等价动作建立:

把A的横行写为A^T的纵列
把A的纵列写为A^T的横行

形式上说，m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

$A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji}$ for $1 \le i \le n,$ $1 \le j \le m$ 。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \2 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \3 & 4 \5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

性质

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质:

$\left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad$ ，

$(A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}$ ，

转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射。

$\left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}$ ，

注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵，当且仅当A^T是可逆矩阵，在这种情况下有 (A^?1)^T = (A^T)^?1。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。

$(c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T}$ ，

标量的转置是同样的标量。

$\det(A^\mathrm{T}) = \det(A)$ ，

矩阵的转置矩阵的行列式同于这个矩阵的行列式。

两个纵列向量a和b的点积可计算为

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$

如果A只有实数元素，则A^TA是正半定矩阵。
如果A是在某个域上，则A 相似于A^T。

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，如果

$A^{\mathrm{T}} = A$ 。

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，如果

$G G^\mathrm{T} = G^\mathrm{T} G = I_n , \,$ I是单位矩阵。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，如果

$A^{\mathrm{T}} = -A$ 。

复数矩阵A的共轭转置，写为A^H，是A的转置加上取每个元素的共轭复数:

$A^H = (\overline{A})^{\mathrm{T}} = \overline{(A^{\mathrm{T}})}$

逆矩阵（inverse matrix）：

在线性代数中，给定一个 n 阶方阵 $\mathbf{A}$ ，若存在一 n 阶方阵 $\mathbf{B}$ ，使得 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n$ ，其中 $\mathbf{I}_n$ 为 n阶单位矩阵，则称 $\mathbf{A}$ 是可逆的，且 $\mathbf{B}$ 是 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵，记作 $\mathbf{A}^{-1}$ 。