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转置矩阵,逆矩阵和倒转置矩阵

2013-05-17  Tech-d

单位矩阵:


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \0 & 1 & 0 \0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \0 & 1 & \cdots & 0 \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

转置矩阵(transpose matrix)

线性代数中,矩阵A转置是另一个矩阵AT(也写做AtrtAA′)由下列等价动作建立:

  • A的横行写为AT的纵列
  • A的纵列写为AT的横行

形式上说,m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji} for  1 \le i \le n, 1 \le j \le m
  • \begin{bmatrix}
1 & 2 \3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 \2 & 4 \end{bmatrix}
  • \begin{bmatrix}
1 & 2 \3 & 4 \5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

性质

对于矩阵AB和标量c转置有下列性质:

  • \left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad
  • (A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}
转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射
  • \left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}
注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A可逆矩阵,当且仅当AT是可逆矩阵,在这种情况下有 (A?1)T = (AT)?1。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况,可得出 (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTAT
  • (c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T}
标量的转置是同样的标量。
  • \det(A^\mathrm{T}) = \det(A)
矩阵的转置矩阵的行列式同于这个矩阵的行列式。
  • 两个纵列向量ab点积可计算为
 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵;就是说A是对称的,如果

A^{\mathrm{T}} = A

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵;就是说G是正交的,如果

G G^\mathrm{T} = G^\mathrm{T} G = I_n , \, I单位矩阵

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵;就是A是斜对称的,如果

A^{\mathrm{T}} = -A

复数矩阵A共轭转置,写为AH,是A的转置加上取每个元素的共轭复数:

A^H = (\overline{A})^{\mathrm{T}} = \overline{(A^{\mathrm{T}})}


逆矩阵(inverse matrix

线性代数中,给定一个 n 阶方阵 \mathbf{A},若存在一 n 阶方阵\mathbf{B},使得 \mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n,其中\mathbf{I}_n为 n单位矩阵,则称\mathbf{A} 可逆的,且 \mathbf{B} 是 \mathbf{A}逆矩阵,记作\mathbf{A}^{-1}


转置矩阵 inverse transpose matrix,对矩阵先计算出逆矩阵,再对逆矩阵做转置矩阵的计算


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