中考数学专题复习15——二次函数有关四边形问题

2013中考数学专题复习15

二次函数有关四边形的问题

一、知识要点：

1、熟悉特殊四边形的性质和判定，把问题进行转化，转化为边、角之间的关系，主意要保证条件充分；

2、合理选择方法，如相似、勾股定理、三线合一等，往往能使过程变得简单；

3、解题过程往往要用到分类讨论，理解题意要准确、分析问题要到位。

二、例题分析：

例1、如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.

分析：第（1）根据A、B两点坐标，用待定系数法易得。

      第（2）s即为线段MN的长度，因P在OC上移动，

  所以点N必在M的上方，所以s就是N点的纵坐标减去M点

的纵坐标。

    第（3）要四边形BCMN为平行四边形，因BC∥MN，

只要BC∥MN即可；平行四边形BCMN是否为菱形，只要把

所求t的值代入，看邻边是否相等。

 

 

 

 

 

 

例2、如图，已知抛物线y_＝a₍x_－1₎²＋₍a≠0₎经过点A_(－2，0₎，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

分析：（2）关键是合理转化为相应线段之间的关系；（3）把不规则最值

图形转化为规则图形，利用二次函数求最值。

 

 

 

 

例3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，

点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，

AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.

(1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.

分析：

分析：（2）有两边平行的四边形并不一定是平行四边形，要把这两条边重合及另两边也平行的情况排除掉；

     （3）因两边大小不定，要进行分类讨论，

 

 

 

 

 

 

巩固练习

1、如图，已知二次函数y_＝x ²_－2x_－1的图象的顶点为A，二次函数y_＝ax ²＋bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y_＝x ²_－2x_－1的图象的对称轴上．

（1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y_＝ax ²＋bx的关系式．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），且对釉轴x=1．

    (1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

    (2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由(使用图1)；

    (3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2)．

图1                                                                    图2

 

 

 

 

3、如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）。

（1）求抛物线的表达式。

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s

的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ²（cm²）。

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。

 

 

 

 

 

 

4、已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).

 (1)求抛物线的解析式;

 (2)如图(15.1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值

（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ.

①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。

 

 

 

5、已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D。若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。

（1）如图1，求抛物线的伴随直线的解析式；

（2）如图2，若（m>0）的伴随直线是y=x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；

（3）如图3，若抛物线的伴随直线是y=－2x+b（b>0），且伴随四边形ABCD是矩形。

① 用含b的代数式表示m,n的值；

② 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式）；若不存在，请说明理由。

 

 

 

 

 

5、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为

点P，与x轴的另一交点为点B.

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN. 在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.

 

 

 

 

6、已知二次函数y=a（x²-6x+8）（a>0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

（1）如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4,4）、（4,3），边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）.”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）？请说明理由.

 

 

 

参考答案

例1：解（1）把x=0代入，得

把x=3代入，得，

   ∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）

设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得

，解得

所以，

（2）把x=t分别代入到和

分别得到点M、N的纵坐标为和

∴MN=-（）=

即

∵点P在线段OC上移动，

∴0≤t≤3.

(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN

∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形

由，得

即当时，四边形BCMN为平行四边形

当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,

此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；

当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,

此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；

所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．

 

例2：解：（1）把A_(－2，0₎代入y_＝a₍x_－1₎²＋，得0＝a_(－2_－1₎²＋．

∴a_＝－

∴该抛物线的解析式为y_＝－(x_－1₎²＋

即y_＝－x ²_＋x_＋．

（2）设点D的坐标为₍x_D，y_D)，由于D为抛物线的顶点

∴x_D＝－＝1，y_D＝－×1 ²_＋×1_＋＝．

∴点D的坐标为₍1，₎．

如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．

∴∠DAO＝60°

∵OM∥AD

①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．

∴OP＝6

∴t＝6（s）

②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．

过点O作OE⊥AD轴于E．

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．

（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）

∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6_－1＝5．

∴t＝5（s）

③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD_－2AE＝6_－2＝4．

∴t＝4（s）

综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．

（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．

又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．

∵BQ＝2t，∴OQ＝6_－2t（0＜t＜3）

过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t．

∴S_{四边形BCPQ ＝}S_{△COB －}S_△POQ

_＝×6×－×(6_－2t)×t

_＝(t_－)²_＋

∴当t_＝（s）时，S_{四边形BCPQ}的最小值为．

此时OQ＝6_－2t＝6_－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3_－＝，PF＝．

∴PQ＝＝＝

 

例3：解(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，

∴ A，B的横坐标分别是2和– 2，

代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，

∴M (0，2)，                                                               

(2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，

由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,

 ∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2.                               

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±,

当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2

∴x的取值范围是x 1 1±, 且x1± 2的所有实数.                                

② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，                                                            

∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，

∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，

∴t = –+ 0 –2 = –2  .                                                  

2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，

∵CM∥PQ，CM = PQ，

∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2′2，解得： x = ±.                                                          

当x = –时，得t = –––2 = –8 –, 当x =时， 得t =–8.  

习题答案

1、解：（1）∵y_＝x ²_－2x_－1_＝(x_－1₎²_－2∴顶点A的坐标为₍1，_－2₎．

∵二次函数y_＝ax ²＋bx的图象经过原点，且它的顶点B在二次函数y_＝x ²_－2x_－1图象的对称轴上．

∴点C与点O关于对称轴对称．

∴点C的坐标为₍2，0₎．

（2）∵四边形AOBC为菱形，∴点B与点A关于直线OC对称．

∴点B的坐标为₍1，2₎．

∵二次函数y_＝ax ²＋bx的图象经过点B₍1，2₎，C₍2，0₎．

∴     解得

∴二次函数y_＝ax ²＋bx的关系式为y_＝－2x ²＋4x

2、（1）由得，又，所以抛物线的解析式为

由得x=－1或x=3，所以A（－1，0），B（3，0）

（2）假设存在符合条件的点D，设D（x，）

作DE⊥x轴于点E，则OE=x，DE=，BE=3－x，得

化简得，   解得x=1或x=2

故存在符合条件的点D，为D（1，）或D（2，－1）

（3）当PQ平行等于AB时，PQ=4，当P在y轴右侧时，P的横坐标为4，当P在y轴左侧时，P的横坐标为－4；当PQ与AB互相平分时，PQ过AB的中点（1，0），可得P的横坐标为2故P的坐标为（4，）或（－4，7）或（2，－1）

 

3、（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线过A、B、D三点得

解得

抛物线的表达式为

（2）①S=PQ²=（0≤t≤1）

②由解得t=或t=（不合题意，舍去）

此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，）

若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，）或（1，－）或（1，）

经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，）在抛物线上

所以抛物线上存在点R（3，）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。

（3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。因为如在对称轴上另取一点N，则

ND－NA=ND－NB<BD，而MD－MA=MD－MB=BD，故点M到D、A的距离之差最大。

由B（2，－2）、D（4，）求得直线BD的解析式为

时，，故点M的坐标为（1，）

 

4、解：⑴.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为

∵的图像经过了点B(5,5)  ∴     解得

∴  即：

⑵.

如图，作点A关于y轴对称点,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点,与x轴交与点C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。

∵A(1,5),B(5,1)∴

∴

    

⑶.①如图

∵∴直线AB的解析式为

∴直线与直线的交点

∵，点Q为OP的中点∴

∵△PBR与直线CD有公共点，∴，即

5、解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b.由题意，得:A(0，5)，B(2，1)

                ∴  ∴k=-2 ,b=5

                ∴直线AB的解析式为y=-2x+5

 (2) 由伴随直线是y=x－3，得：A(0，-3)，C(0，3)  ∴ AC=6

 由伴随四边形的面积为12，得：△ABC的面积为6=

 ∴m=±2    ∵m>0    ∴m=2

 当m=2时，y=-1，顶点为（2，-1），     且过点C（0，3）

∴抛物线的解析式为y=。

 (3) ① 如图，作BE⊥x轴，

 

由题意，得：A（0,b）,C (0,-b)

∵抛物线的顶点B（m,n）在y=－2x+b（b>0）上，

∴n=-2m+b    B(m, -2m+b)

在矩形ABCD中，OC=OB  ∴OC²=OB²

即：∴m(5m-4b)=0∴m₁=0(舍去)，m₂=∴n=-2m+b=∴ ,；

② 存在，有4个点：(，),( ，),( ，),( ，)

 

5、（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c

由题意得    解得

∴二次函数的解析式为y= x²－8x+12，点P的坐标为（4，－4）

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：

当y=0时，x²-8x+12=0   ∴x₁=2 ， x₂=6，∴点B的坐标为（6，0）

设直线BP的解析式为y=kx+m

则       解得

  ∴直线BP的解析式为y=2x－1，∴直线OD∥BP

∵顶点坐标P（4， －4）     ∴ OP=4

   设D(x，2x)    则BD²=（2x）²+(6－x)²

     当BD=OP时，（2x）²+(6－x)²=32，解得：x₁=，x ₂=2

   当x₂=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去

   ∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形

   ∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形

（3）① 当0＜t≤2时，

 

∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，

则MP=t    ∴PH=t，MH=t，HN=t   ∴MN=t

∴S=t·t·=t²  

 ② 当2＜t＜4时，P₁G=2t－4，P₁H=t

          

∵MN∥OB    ∴ ∽

∴     ∴

 ∴ =3t²－12t+12

∴S=t²－(3t²－12t+12)= －t²+12t－12

∴  当0＜t≤2时，S=t²，当2＜t＜4时，S=－t²+12t－12 。

6、解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0解得x₁=2，x₂=4；

令x=0，解得y=8a.

∴点A、B、C的坐标分别是（2,0）、（4,0）、（0,8a），

该抛物线对称轴为直线x=3.

∴OA=2，

如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1.

由题意得O′A=OA=2.

∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°.

∴∠OAC=∠ O′AC=60°.

∴OC=·AO=2，即8a=2，∴a=.

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结果同样成立.

（I）如图②，设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM.

∵点E（4,4）、F（4,3）与点B（4,0）在一直线上，点C在y轴上，

∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.

 

（II）设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），

点F的坐标是（4,3）点G的坐标是（5,3）.

∴FB=3，GB=，∴3≤PB＜，

∵PC≥4，∴PC＞PB.

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.

（3）存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）.

如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，

∴PA=PB.

∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.

∵点C的坐标是（0,8a），点D的坐标为（3，-a），点P的坐标是（3，t），

∴PC²=3²+（t-8a）²，PD²=（t+a）²，

由PC=PD得PC²=PD²，∴3²+（t-8a）²=（t+a）²，

整理得7a²-2ta+1=0，∴△=4t²-28.

∵t是大于3的常数，∴△=4t²-28＞0，

∴方程7a²-2ta+1=0有两个不相等的实数根a==，

显然，a=＞0，满足题意.

∴当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a=，使得线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.