代数中考真题典型例题

代数中考真题典型例题分析一

概述：

代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，这类题主要以方程或函数为基础进行综合．解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题．解题时，计算不能出差错，思维要宽，考虑问题要全面．

典型例题精析

    例．已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x₁，O），B（x₂，0）（x₁<x₂），顶点M的纵坐标为-4，若x₁，x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-7=0的两个根，且x₁²+x₂²=10．

    （1）求A、B两点的坐标；

    （2）求抛物线的解析式及点C的坐标；

    （3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析：（1）求A、B两点的坐标，突破口在x₁，x₂，两个未知数需两个方程：

①②

    方程       多出一个m还应再找一个x₁²+x₂²=10 ③，用配方法处理先算m．

    由③：（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10 ④将①②代入④，

    得4（m²-2m+1）-2m²+14=10，

    2m²-8m+8=0，

    m²-4m+4=0，

    m=2．

    且当m=2时，△=4-4×（-3）>0合题意．

    将m=2代入①②，得

      x₁²-2x₁=3

    或

    ∵x₁<x₂（看清条件，一个不漏，全方位思考）

    ∴x₁=-1，x₂=3，∴A（-1，0），B（3，0）．

    （2）求y=ax²+bx+c三个未知数，布列三个方程：将A（-1，0），B（3，0）代入解析式，再由顶点纵坐标为-4，可得：

    设y=a（x-3）（x+1）（两点式）

    且顶点为M（1，-4），代入上式得

    -4=a（1-3）（1+1）

    a=1．

    ∴y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3．

    令x=0得y=-3，∴C（0，-3）．

    （3）四边形ACMB是非规则图形，所以面积需用分割法．

    S_{四边形ACMB}=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△NBM

    = AO·OC+ （OC+MN）·ON+ NB·MN

    = ×1×3+ （3+4）×1+ ×2×4=9．

    用分析法：

    假设存在P（x₀，y₀）使得S_△PAB=2S_{四边形ACMB}=18，

    即 AB│y₀│=18， ×4│y₀│=18，y₀=±9．

    将y₀=9代入y=x²-2x-3，得x₁=1- ，x₂=1+ ，

    将y₀=-9代入y=x²-2x-3得△<0无实数根，

    ∴P₁（1- ，9），P₂（1+ ，9），

    ∴存在符合条件的点P₁，P₂．

 

中考样题训练

1．已知抛物线y=x²+（m-4）x+2m+4与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于点C，且x₁<x₂，x₁+2x₂=0，若点A关于y轴的对称点是D．

    （1）求过点C、B、D的抛物线的解析式；

    （2）若P是（1）所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD和△CBD的积相等，求直线PH的解析式．

 

 

2．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．

    （1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

    （2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm²． ①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

3．矩形OABC在直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y= x与BC边相交于点D．

    （1）求点D的坐标；

    （2）若抛物线y=ax²+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

    （3）P为x轴上方，（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；

    （4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标．

 

 

4．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（ ， ）．

    （1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

    （2）求四边形ABDC的面积；

    （3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

考前热身训练

1．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，如图，且二次项系数为- （a>0）．

    （1）求该抛物线的解析式（系数用含a的代数式表示）；

    （2）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），  求M，N的坐标（用含a的代数式表示）；

    （3）在（2）的条件下，当a在什么范围内取值时，ON+BN的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-OM的值也为常数？

 

 

 

 

2．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．

    （1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x的函数关系式；

    （2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨或乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨或乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？

（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费多少元？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3．已知抛物线y= x²-x+k与x轴有两个不同的交点．

    （1）求k的取值范围；

    （2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在原点的左侧，抛物线与y轴交于点C，若OB=2．OC，求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

    （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P（点D除外），使得以A、B、P三点为顶点的三角形与△ABD相似？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

4．在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药物后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足如图所示的折线．

    （1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量取值范围；

    （2）据临床观察：每毫克血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的/如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？

    （3）假若某病人一天中第一次注射药液是早上6点钟，问怎样安排此人从6：00～20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？

 

 

 

 

 

参考答案

中考样题看台

1．（1）由  △=（m-4）²+4（2m+4）=m²+32>0

    得m₁=2，m₂=7（舍去），x₁=-4，x₂=2得A、B、C坐标为：

    A（-4，0），B（2，0），C（0，8），所求抛物线的解析式为：y=x²-6x+8

（2）∵y=x²-6x+8=（x-3）²-1，

∴顶点P（3，-1），设点H的坐标为（x₀，y₀），

∵△BCD与△HBD的面积相等，∴│y₀│=8，

∵点H只能在x轴上方，故y₀=8，求得H（6，8），直线PH解析式为y=3x-10．

2．（1）当点P运动2秒时，AB=2cm，由∠=60°，知AE=1，PE= ，

∴S_△APE= （cm）²．

  （2）①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，

设PM与AD交于点G，ON与AD交于点F，则AQ=t，AF= ，QF= t，AP=t+2

    AG=1+ ，BG=+ t．

    ∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S= t+ ．

当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动，

设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF= ，DF=4- ．

    QF= t，BP=t-6，CP=10-t，

    PG=（10-t） ．

    而BD=4 ，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S= t²+10 -34 ．

    当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动，设PM与DC交于点G．

    QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，

    QF=（20-2t） ，CP=10-t，PG=（10-t） ．

    ∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S= t--30 +150 ，

    故S关于t的函数关系式为

    S=

②（附加题）当0≤t≤6，S的最大值为 ；

当6≤t≤8时，S的最大值为6 ；当8≤t≤10时，S的最大值为6 ；

    所以当t=8时，S有最大值为6 ．

3．（1）由题知，直线y= x与BC交于点D（x，3），

把y=3代入y= x中得，x=4，∴D（4，3）．

    （2）∵抛物线y=ax²+bx经过D（4，3），A（6，0）两点．

    把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax²+bx中得，

     解之得

∴抛物线的解析式为：y=- x²+ x．

 

    （3）因△POA底边OA=6，∴S_△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点．

    ∵a=- <0，∴抛物线顶点恰为最高点．

    ∵ = = ．

∴S的最大值= ×6× = ．

    （4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q₁，符合条件，

    ∵CB∥OA，∠Q₁OM=∠CDO

    ∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO，x=- =3，该点坐标为Q₁（3，0）．

    过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q₂，

    ∵对称轴平行于y轴

    ∴∠Q₂MO=∠DOC，

    ∴Rt△Q₂OM∽Rt△CDO．

    在Rt△Q₂Q₁O与Rt△DCO中，

    Q₁O=CO=3，∠Q₂=∠ODC，

    ∴RtQ₂Q₁O≌Rt△DCO，∴CD=Q₁Q₂=4．

    ∵点Q₂位于第四象限，∴Q₂（3，-4）．

    因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）

4．（1）由题意，得  解之，  得

    ∴y=-x²+2x+3

    （2）由（1）可知y=-（x）²+4

    ∴顶点坐标为D（1，4）

    设其对称轴与x轴的交点为E

    ∵S_△AOC= │AO│·│OC│= ×1×3=

    S_梯形OEDC= （│DC│+│DE│）×│OE│= （3+4）×1=

    S_△DEB= │EB│·│DE│= ×2×4=4

    S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△DEB= + +4=9

    （3）△DCB与△AOC相似．

    证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F

    ∵D（1，4），∴Rt△DFC中，DC= ，且∠DCF=450167

    在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3

    ∴∠AOC=∠DCB=90°， =

    ∴△DCB∽△AOC

 

考前热身训练

1．（1）y=- x²+（1+ ）x    （2）M（a，1），N（a+1，0）

    （3）∵ON=a+1，BM=│a-1│

    ∴ON+BM=a+1+│a-1│=

    ∴当0<a≤1时，ON+BM为常数

    又∵ON-BM=a+1-│1-a│=

    ∴当a≥1时，ON-BM为常数

2．（1）设用A型车厢x节，则B型车厢（40-x）节，总运费为y万元，

则y=0.6x+0.8（40-x）=-0.2x+32．

    （2）由题知

    解之得24≤x≤26．

    ∵x取整数，∴x=24，25，26应有三种装车方案：

      ①A型24节，B型16节；②A型25节，B型15节；③A型26节，B型14节．

（3）由y=-0.2x+32知，x越大，y越小，故当x=26时，运费最省，

这时，y=-0.2×26+32=26.8（万元）．

3．解：（1）△=（-1）²-4· k>0

    1-2k>0，

    k<

    （2）令y=0有0= x²-x+k，

    x²-2x+2k=0，x= =1±

    ∵点A在原点的左侧，∴B（1+ ，0）

    又令x=0有y=k，∴C（0，k）．

    由OB=2OC得1+ =│2k│，由x₁x₂<0得k<0

    ∴1-2k=（1+2k）²，

    ∴k=- ，y= x²-x- ． ∴D（1，-2）．

    （3）令y=0有 x²-x- =0，

    x²-2x-3=0，

    （x-3）（x+1）=0，

    ∴x₁=3，x₂=-1． ∴A（-1，0），B（3，0）．

    由抛物线对称性知△ABD为等腰三角形．

    ∵P点在抛物线上（D点除外），由抛物线的特殊性不可能存在这样的P点．

4．（1）当0≤t≤1时，设y=k₁t，则k₁=6，∴y=6t．

    当0<t≤10时，设y=k₂t+b，

    ∴   解得   ∴y=- t+ ．

    ∴y=

    （2）当0≤t≤1时，令y=4，即6t=4．

    ∴t= （或6t≥4，t≥ ）．

    当0<t≤10时，令y=4，即- t+ =4，

    ∴t=4（或- t+ ≥4，∴t≤4）．

    ∴注射药液 小时后开始有效，有效时间为4- = （小时）．

（3）设第二次注射药液的时间是在第一次注射药液t₁小时后，

则- t₁+ =4， t₁=4（小时）．

    ∴第二次注射药液为10：00．

设第三次注射药液的时间在第一次注射药液t₂小时后，

则- t+ - （t₂-4）+ =4．

    解得t₂=9（小时）．

    ∴第三次注射药液的时间为15：00．

设第四次注射药液在第一次注射药液t₃小时后，

则- （t₃-4）+ - （t₃-9）+ =4

    解得t₃=13 （小时）

    ∴第四次注射药液时间是19：30．