|
来自：要学习网
 阅读原文1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点  的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点 的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于 ，定义中的“绝对值”与 不可忽视。若 ，则轨迹是以 为端点的两条射线，若，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：①已知定点 ，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． D．（答：C）；②方程 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点 及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x轴上时 （参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。比如：已知方程表示椭圆，则k的取值范围为____（答：）；（2）双曲线：焦点在x轴上： ，焦点在y轴上：。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如：双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）； （3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）（2）双曲线：由 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点 位置，焦点、的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，，在双曲线中，c最大，。4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以 为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 比如：若椭圆 的离心率，则m的值是__（答：3或）；（2）双曲线（以 为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：。比如：双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于______（答：或）； （3）抛物线（以 为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y=0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。如设 ，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；5、点 和椭圆的关系：（1）点 在椭圆外；（2）点 在椭圆上；（3）点 在椭圆内6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。比如：若直线y=kx+2与双曲线 的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：）； （2）相切： 直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离： 直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过双曲线 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如： ①过点(2,4)作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； ②对于抛物线C： ，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）； ③求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 www. 手机版地址 wap.] 7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r=ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。比如： ①已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：）； ②椭圆 内有一点p(1,-1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使之值最小，则点M的坐标为_______（答：）8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ①，且当即P为短轴端点时，最大为；②，当即P为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②。比如：短轴长为 ，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：6）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为 ，若P为的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。10、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如：过抛物线 焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。比如：如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；12．你了解下列结论吗？ （1）双曲线 的渐近线方程为；（2）以 为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为（为参数，≠0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线 的焦点弦为AB，，则①；②（7）若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)13．动点轨迹方程： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0； 如已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答： 或）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m>0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答： ）；[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 www. 手机版地址 wap.] ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）； ④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点 的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线 上任一点，定点为A(0,-1),点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）；⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 如若点 在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：）； 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 如已知椭圆 的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段与该椭圆的交点，点T在线段上，并且满足（1）设x为点P的横坐标，证明；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）；（3）当时不存在；当时存在，此时∠F1MF2＝2） ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量 ；（2）给出 与AB相交,等于已知过AB的中点;（3）给出  ,等于已知P是MN的中点; （4）给出  ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①  ；②存在实数 ；③若存在实数 ,等于已知A,B,C三点共线（6） 给出  ，等于已知P是 的定比分点， 为定比，即 （7） 给出  ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角。 （8）给出  ,等于已知MP是 的平分线;（9）在平行四边形ABCD中，给出  ，等于已知ABCD是菱形;（10） 在平行四边形ABCD中，给出  ，等于已知ABCD是矩形;（11）在△ABC中，给出  ，等于已知O是△ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在△ABC中，给出  ，等于已知O是△ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在△ABC中，给出  ，等于已知O是△ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在△ABC中，给出  等于已知 通过△ABC的内心；（15）在△ABC中，给出  等于已知O是△ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在△ABC中，给出  ,等于已知AD是△ABC中BC边的中线 |
|
|
