必修5 3.2均值不等式（第二课时）说课

必修5 3.2均值不等式（第二课时）说课

辽宁沈阳东北育才学校　王　威

一、教材分析：

1、内容与地位：本节课选自人教B版高中数学必修五第三章3.2节（第二课时），主要内容是用均值不等式求函数最大、最小值．均值不等式是第三章“不等式”的重要内容，它起着承上启下的作用，学生在初中学习了不等式的概念以及简单的不等式的解法，对不等式有了感性的认识，通过均值定理的学习，学生对不等式的性质产生了理性的认识，并将初步了解证明不等式的方法，为后续选修课程4系列“不等式选讲”的学习打下良好的基础．

2、教学目标

知识与技能：

理解均值不等式；

能用均值不等式解决简单的函数最大、最小值问题；

理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件； 

过程与方法：

通过典型例题的探究增强探索能力及创新精神；

通过一题多解与一题多变提高学生发散思维能力；

渗透转化化归的数学思想．

情感与价值观：

培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力；

体现数学知识的相关性、严谨性、逻辑性．

由均值不等式体会数学知识的简洁美与和诣美．

3、重点与难点

重点：应用均值不等式求函数最值；

难点：理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件．

二、教法与学法

教法：本课采用讲授法与启发式相结合的教学方法，运用变式教学，使学生感受知识的产生和发展过程，体会知识之间的联系与区别．

学法：选取合适习题，让学生自主探究，变被动接受知识为主动探索知识．

手段：多媒体演示教学．

三、教学过程

（一）复习回顾

在进行习题课教学前首先回顾均值不等式的内容，即：

如果，那么，当且仅当时，式中等号成立．

文字表述：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．

均值不等式的其它等价形式：，，

设计意图：通过对公式的复习使学生对习题课做好知识上的准备，能达到对公式的灵活运用．

（二）精题探究

这一阶段是探索新知的阶段，通过对三道运用均值不等式求函数最值问题的练习与讲解，使学生不仅掌握知识，更要掌握学习的方法，体验学习的乐趣．

例１：求函数的最大值，以及此时的值．

解：．

因为，所以，得．

因此

当且仅当，即时，式中等号成立．

由于，因而时，

此例题为教材71页例3，学生在第一堂课会接触到均值不等式的证明以及在实际应用问题中的应用，而通过例1可让学生在上一节课的基础上，进一步感受均值不等式的另一个重要作用，即求函数的值域和最值问题，但由于用均值不等式求最值有严格的条件限制，为了完善学生的思维，设计变式如下：

变式１：对于函数，下列说法中正确的是

A．有最小值                         B．有最大值        

C．有最大值                       D． 有最小值

此问题有可能出现如下的错解情形：

从而选取答案A，而正确的解法应该是：

即选择答案C．

设计意图：这个题目的设置正是为了突出均值不等式成立的等一个要素，即“正”：必须为正．

例２：已知，则的最大值为         ．

第2题学生也可能出现错解如下：

而正确的解法应该是：

设计意图：学生求解与教师讲解的过程中，突出了均值不等式成立的第二个重要因素，即积或和为定值，即“定”，出现错解的原因是由于学生在消元的过程中忽略了定值的条件，通过学生解决问题与纠正错解，可以体现出数学思维的严谨性．

例3：已知，且，求的最小值．

解法一：

解法二：

 

变式：已知，且，求的最小值．

此题学生也容易进入如下的陷阱：

错解：，，

一种正确的解法如下：

这里学生忽略了均值不等式的第三个要素，即“相等”：在多次使用均值不等式时应该注意等号取得的条件．

设计意图：教材是教学的载体，学生是学习的主体，好的习题不一定是以难度为衡量标准的，它应该是符合学生认知水平，遵循学生认知规律的，是学生看的见，摸的着的，所以应该立足教材．此外习题是认知的进一步强化，是易混、易错问题的纠正过程，所以在本堂习题课的教学过程中选取的变式习题均是针对学生易错点而设计，以求让学生对均值不等式的认识更加完整，理解更加深刻．

（三）思维发散

数学不仅仅是解题，数学教学应该是一个思维训练的过程，因此好的习题应该承载着发散性思维训练的功效，而一题多解是数学教学中发散性思维训练的良好方法．在本组习题中的第3题的变式就可以有多种好的解法，启发学生一题多解，学生有可能出现的解法展示如下：

解法二：由已知得，，

，

由于，可得，

解法三：设

解法四：由已知得，，

这里解法二采用的消元的方法；解法三通过对题目给出条件的分析，两个正数的和为1，采用了换元法；而解法四需要对均值不等式的理解更为透彻，欲求和的最小值需构造积为定值，而因式分解为我们提供了一种构造积为定值的条件．

设计意图：以上四种方法虽然出发点有着很大的差异，但最后殊途同归，均落到了均值不等式上，在习题的讲评课上可以引导学生一题多解，训练学生发散性思维的同时强化了均值不等式的作用，以求达到一箭双雕的效果．

（四）变式迁移

习题3在教学中不仅可以进行一题多解的训练，它还可以进行变式教学，给予学生更大的探究空间．

变式一：已知，求的最小值．

分析：此题其实是将习题3 中的条件和所求结论进行了互换，依然可以采用习题3 中的解法一进行求解，即．当然此处也可以使用三角换元法或消元法转化成形的函数进行研究．

变式二：已知，求的最小值．

分析：本题中看似所给的条件大有不同，但其实它与变式一完全是同一个问题的两种不同的形式，这里的就相当于变式一中的，从而可以转化为变式一进行求解．

变式三：已知，且，求的最小值．

分析：这里的条件由分式变成了整式，还增加了常数1，这里简单的三角换元不再适用，而因式分解法和消元法依然可以用来解法问题．

因式分解法：由已知得，

消元法：，

变式四：已知，且，求的最小值．

分析：变式四是在变式三的基础上对所求结论进行了改变，把求的最值变成了求的最值，这里同样可以采用消元的方法求解．

即

（五）小结

在学生探究问题的过程中，一道题是一个点，一类题可以串成一条线，迁移变换则能形成面，在学生解决习题后，不能仅仅停留在完成任务的层面上，引导学生进行总结反思，归纳通性通法，由一道题或几道题掌握一类问题的解决方法，在此基础上进行一题多解与一题多变，在学生已掌握知识的基础上，将学生的知识体系整合成网络，正是力求以点生线，以线成面，真正达到思维上的升华．

四、预期效果

我希望通过本节课的学习，学生能够以一个全新的角度去看待均值不等式与函数最值问题，掌握应用均值不等式求函数最值的基本思想和基本方法，体会到对于均值不等式，不仅其本身蕴含着数学的和谐美与数形结合之美，它还在解决实际问题和解决数学其它很多方面的问题中有着重要的应用，这也是称其为“基本不等式”的原因．通过习题的探究使学生体验到学科的不同知识的联系与区别，体验到数学学科的严谨性和逻辑性，体验到转化与化归思想的力量，体验发现新知、掌握新知、扩展新知、应用新知的方法，体会到学习的乐趣，激发学生对数学、对科学的热爱．