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巩固双基,提升能力 一、选择题 1．(2013·泰安期末)命题：“若－1＜x＜1，则x^2＜1”的逆否命题是( ) A．若x≥1或x≤－1，则x^2≥1 B．若x^2＜1，则－1＜x＜1 C．若x^2＞1，则x＞1或x＜－1 D．若x^2≥1，则x≥1或x≤－1 解析：逆否命题是将原命题的条件和结论换位否定 ，故选D. 答案：D 2．(2013·嘉定区、黄浦区联考)已知空间三条直线a、b、m及平面α，且a、bα.条件甲：m⊥a，m⊥b；条件乙：m⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：根据线面垂直的性质知，若m⊥α，一定有m⊥a，m⊥b；但若m⊥a，m⊥b，不一定有m⊥α，因为a、b不一定相交．因此“条件乙成立”是“条件甲成立”的充分不必要条件． 答案：A 3．(2013·南宁调研)设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x^2＋y^2＞2 D．xy＞1 解析：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是x＋y＞2，因为若x，y都不大于1，则x＋y＞2不成立．但是x，y中至少有一个数大于1，不一定有x＋y＞2，如x＝4，y＝－8，则x＋y＝－4.故选B. 答案：B 4．(2012·广西调研)设条件p：f(x)＝e^x＋2x^2＋mx＋1在(0，＋∞)上单调递增，条件q：m＋5≥0，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝e^x＋4x＋m≥0在(0，＋∞)上恒成立，又f′(x)＝e^x＋4x＋m在(0，＋∞)上单调递增，因此有m≥－1，故p是q的充分不必要条件． 答案：A 5．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不良分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若y＝f(x)为奇函数，则y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，反过来不成立，即若y＝f(x)为偶函数，则y＝|f(x)|的图像也关于y轴对称．故选B. 答案：B 6．(2013·海口模拟)已知集合A＝{x∈R|1/2＜2^x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( ) A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．－2＜m＜2 解析：A＝{x∈R|1/2＜2^x＜8}＝{x|－1＜x＜3} ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AB.∴m＋1＞3，即m＞2. 答案：C 二、填空题 7．(2013·广西调研)写出一个使不等式|x－2|＜1成立的必要不充分条件__________． 解析：解不等式|x－2|＜1，得1＜x＜3，此为充要条件，要求必要不充分条件，只要使所求条件比此范围大即可． 答案：0＜x＜3(答案不唯一) 8．(2012·南昌模拟)若“x^2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为__________． 解析：由x^2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4，要使x＜ m能得出x＜－2或x＞4，故m的最大值为－2. 答案：－2 9．给定下列命题： ①若k＞0，则方程x^2＋2x－k＝0有实数根； ②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题； ④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题． 其中真命题的序号是__________． 解 析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，∴①是真命题． ②否命题：“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题． ③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题． ④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为0”是真命题． 答案：①②④ 三、解答题 10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (1)写出否命题，判定真假，并证明你的结论； (2)写出逆否命题，判定真假，并证明你的结论． 解析 ：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R. 若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)． 否命题为真命题，证明如下： ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a＋b＜0， 则a＜－b，b＜－a， ∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)． ∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，故否命题为真命题． (2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R. 若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0. 该逆否命题为真命题，证明如下： 对于原命题： ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且a＋b≥0， ∴a≥－b，b≥－a. ∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)． ∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题． 11．已知P＝{x|x^2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围； (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围. 解析：(1)由x^2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}． ∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S. ∴1－m＝－2；1＋m＝10；m＝3，m＝9 ∴这样的m不存在． (2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则SP. ∴1－m≥－2；1＋m≤10∴m≤3. 综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件． 12．(2013·江西南昌三中月考)已知命题p：x1、x2是方程x^2－mx－2＝0的两个实根，不等式a^2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax^2＋2x－1＞0有解．若命题p是真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围． 解析：∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根， ∴x1＋x2＝m，x1x2＝－2， ∴|x1－x2|＝√ [(x1＋x2)^2－4x1x2)]＝√ (m^2＋8). 又m∈[－1,1]，故|x1－x2|的最大值等于3. 由题意得：a2－5a－3≥3a≥6或a≤－1. 故命题p是真命题时，a≥6或a≤－1. 命题q：(1)a＞0时，ax^2＋2x－1＞0显然有解； (2)a＝0时，2x－1＞0有解； (3)a＜0时，Δ＝4＋4a＞0，－1＜a＜0. 从而命题q为真命题时：a＞－1. ∴命题p是真命题，命题q为假命题时实数a的取值范围是a≤－1. |
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