360教育网平面向量 平面向量的坐标运算

平面向量  平面向量的坐标运算

 

二、本周教学目标：

高考要求：

  1、了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；

2、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题．

 

三、本周知识要点：

1、平面向量的坐标表示：一般地，对于向量，当其起点移至原点O时，其终点的坐标（x,y）称为向量的直角坐标．记作

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，则．

    （1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．

（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．

2、平面向量的坐标运算：

（1）若，则

（2）若，则

（3）若=（x,y），则=（x, y）

（4）若，则

（5）若，则

若，则

3、向量的运算：

向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 

运算类型	几何方法	坐标方法	运算性质
向 量 的 加 法	1、平行四边形法则 2、三角形法则
向 量 的 减 法	三角形法则
向 量 的 乘 法	是一个向量, 满足: >0时,与同向; <0时,与异向; =0时, =		∥
向 量 的 数 量 积	是一个数 或时, =0 且时,		,

 

【典型例题】

例1、平面内给定三个向量，回答下列问题   

（1）求满足的实数m,n；

（2）若，求实数k；

（3）若满足，且，求

解：（1）由题意得

所以，得

（2）

（3）

由题意得

得或

 

例2、已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？

解：（1）因为

所以

则

（2），

因为与平行

所以即得

此时，

则，即此时向量与方向相反

 

例3、已知点及,试问:

（1）当为何值时,在轴上? 在轴上? 在第三象限?

（2）四边形是否能成为平行四边形?若能,则求出的值若不能,说明理由．

解：（1），则

若在轴上，则，所以；

若在轴上，则，所以；

若在第三象限，则，所以

（2）因为

若是平行四边形，则

所以此方程组无解；

故四边形不可能是平行四边形．

 

例4、如图，设抛物线y²=2px（p>0）的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O．

解法一：设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,F（,0），则C（y₂）

则

∵ 与共线

∴

即                     （*）

而

代入（*）式整理得，y₁·y₂=－p²

因为

∴ 与是共线向量，即A、O、C三点共线，

也就是说直线AC经过原点O

解法二：设A（x₁,y₁），C（,y₂），B（x₂,y₂）

欲证A、O、C共线，只需且仅需，即

又

∴ 只需且仅需y₁y₂=－p²，用韦达定理易证明．

点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了．

 

例5、已知向量与的对应关系用表示．

（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；

（2）设，求向量及的坐标；

（3）求使，（p，q为常数）的向量的坐标．

解：（1）设，则

，故

，

∴

（2）由已知得=（1，1），=（0，－1）

（3）设=（x，y），则，

∴y=p，x=2p－q，即=（2p－q，p）

 

例6、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，其中且，则点C的轨迹方程为（    ）

                

                                 

解法一：设，则

由得

于是

先消去，由得

再消去得所以选取D．

解法二：由平面向量共线定理，

当，时，A、B、C共线．

因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即选D．

小结：

1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算．

2、两个向量平行的坐标表示．

3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．

 

【模拟试题】

1、若向量与向量相等，则（        ）

A、x=1,y=3         B、x=3,y=1         C、x=1,y= －5         D、x=5,y= －1

2、点B的坐标为（1,2），的坐标为（m,n），则点A的坐标为（        ）

    A、                B、

    C、                D、

3、已知向量，, 且与共线，则等于（        ）

    A、          B、9           C、          D、1

4、已知，_{︱︱=︱︱，}若与反向，则等于（        ）

    A、（－4,10）       B、（4,－10）     C、（－1 , ）       D、（1, ）

5、向量=（2,－1），=（－4,1） 则= （        ）

    A、（－2,0）        B、（6,－2）      C、（－6,2）          D、（－2,2）

6、设向量、，，则“∥”是“x₁y₂=x₂y₁”的（        ）

    A、充分不必要条件                B、必要不充分条件       

C、充要条件                 D、不充分不必要条件

7、平行四边形ABCD的三个顶点为A（－2,1）、B（－1,3）、C（3,4），则点D的坐标是（    ）

    A、（2,1）         B、（2,2）            C、（1,2）         D、（2,3）

8、与向量不平行的向量是

A、        B、        C、         D、

9、已知向量，，则的坐标是               

10、已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，=（2,5），=（－2,3），则坐标为                ，坐标为             ，的坐标为                ．

11、已知=（x₁,y₁），=（x₂,y₂），线段AB的中点为C,则的坐标为          ．

12、已知A（－1,－2），B（4,8），C（5,x），如果A，B，C三点共线，则x的值为     ．

13、已知向量，,向量与平行,︱︱=4求向量的坐标．

 

【试题答案】

  1、B   2、A       3、C       4、B       5、C       6、C       7、B       8、C

9、    10、；；     

11、    

12、            

13、或