综合试题（理科）

教学内容：

综合试题（理科）

 

【模拟试题】

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分；共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U＝R，且A＝｛x｜｜x－1｜＞2｝，B＝｛x｜x²－6x+8＜0｝，则（C_UA）∩B＝

       A.[－1，4]                   B.（2，3）                  C.（2，3）                  D.（－1，4）

2. 有下列四个命题，其中真命题有

       ①“若，则互为相反数”的逆命题；

       ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

       ③“若，则有实根”的逆命题；

       ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.

       A. ①②                B. ②③                          C. ①③                   D. ③④

3. 二项式的展开式中第8项是

       A. －135x⁸                  B. 3645x²                     C. 360                D. 3240

4. 设是一次函数，若，且成等比数列，则等于                

A.                B.                C.            D.

5. 在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是

       A. BC∥平面PDF                                         B. DF⊥平面PAE                

C. 平面PDF⊥平面ABC                                 D. 平面PDF⊥平面PAE

6. 已知向量与的夹角为，且则等于

A. 5                             B. 4                            C. 3                             D. 1

7. 已知点F，直线:，点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是                

A. 双曲线                   B. 椭圆                      C. 圆                          D. 抛物线

8. 如果下边程序框图的输出结果为－18，那么在判断框中①表示的“条件”应该是       

       A.                       B.                      C.                       D.

9. 已知，若为满足的一随机整数，则△ABC是直角三角形的概率是

A.                           B.                           C.                            D.  

10. 已知的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，若的面积，则等于  

A.                          B.                           C.                           D. 1

11. 已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是函数f（x）的导函数，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是                                                                                                        

12. 对于函数，设f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，……，f_n＋1（x）=f[f_n（x）]（n∈N*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₈（x）=x²，x∈R}，则集合M为  

A. 空集                       B. 实数集                   C. 单元素集                 D. 二元素集

 

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 某中学要把9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每所小学至少得两台，不同送法的种数为 。

14. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为________。

15 定义运算“*”如下：则函数的最大值等于                  。

16. 有下列说法：

       ①命题R，R，；

       ②已知直线；

       ③一个公司有N个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本（N是n的倍数），已知某部门被抽取m个员工，那么这个部门的员工数为；

       ④若函数R，则

       其中正确的序号是          。

 

三、解答题：本小题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 设α、β为锐角，且.求cos（α+β）。

18. （12分）已知

    （1）当a=1时，求f（x）的单调区间；

    （2）若f（x）的极大值为，求出a的值。

19. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求与所成的角；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。

20. 甲有一只放有x个红球，y个黄球，z个白球的箱子，且x+y+z＝6（x、y、z∈N），乙有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜。

（1）用x、y、z表示甲胜的概率；

（2）若又规定为甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分，求甲得分的期望的最大值及此时x、y、z的值。

21. 已知与向量平行的直线过椭圆的焦点以及点，椭圆C的中心关于直线的对称点在直线上

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点E（－2，0）的直线交椭圆C于点M、N且满足，（O为坐标原点），求直线的方程。

22. 已知函数满足，，；且使成立的实数只有一个。

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）若数列满足， ，，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：，。

 

 

 

【试题答案】

一、选择题：

1~5 CCCAC                 6~10 BDACB                11~12 CA

 

二、填空题：

  13. 10         14. 4              15. 6              16. ③④

 

三、解答题：

  17. 解：由

             ……2′ 

①²+②²

                         ……6′

由①知

又、为锐角

                          ……10′

        ……12′

  18. 解：（1）当……2′

∴f（x）的单调递增区间为（0，1），

单调递减区间（－∞，0）（1，+∞）…………4′

    （2）………………6′

令

列表如下：

由表可知，……………………………………9′

    

所以存在实数使。……………………………………12′

  19. 解：以为坐标原点，长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为。

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面  又在面上，故面⊥面。 …………4′

（Ⅱ）解：因

与所成的角为…………8′

（Ⅲ）解：由

设平面与面的法向量分别为，则

，解得：

同理

由题可知，二面角的平面角为钝角，所以面与面所成二面角的大小…………12

  20. 解：（1）P（甲胜）＝P（甲乙均取红球）+P（甲乙均取黄球）+P（甲乙均取白球）

＝………4′

（2）设甲的得分为随机变量ξ，则

P（ξ＝3）＝，P（ξ＝2）＝

P（ξ＝1）＝，P（ξ＝0）＝1－………8′

＝

∴当y＝6，x＝z＝0时，Eξ取最大值为………12′

  21. 解：（1）直线l的方程为，①

过原点垂直于l的直线方程为，②

解①②得。

∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，

∴。

∵直线l过椭圆焦点，

∴该焦点坐标为（2，0），

∴，，。

故椭圆C的方程为，③

（2）当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，代入③并整理得

，

设M（，），N（，），则

，，

∴

，

点O到直线m的距离

∵，即，

又由，得，

∴。

而

∴，即，解得，此时直线m的方程为。

当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为，也有，

经检验，上述直线m均满足。

故直线m的方程为或。

  22. 解：（Ⅰ）由  ，

得.……………………………………………………………2分

由只有一解，即，也就是只有一解，

∴

∴.

∴.故。……………………………………………………………4分

（Ⅱ）

为等比数列，

 。……………9分

（Ⅲ）∵，

∴…………………………12分