不等式的解法、不等式的应用

不等式的解法、不等式的应用

 

二. 教学重、难点：

1. 在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的基础上，掌握一些简单的高次整式不等式和分式不等式的解法；掌握含字母类高次整式不等式、分式不等式的解法。

2. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用；能利用不等式解决实际问题。

 

【典型例题】

[例1] 解关于的不等式。

解：原不等式等价于

① 当时，由，得

② 当时，不等式化为

解得或

③ 当时，不等式化为

若，即，则；

若，即，则；

若，即，则。

综上所述，时，解集为；

时，原不等式无解；

时，解集为；

时，解集为；

时，解集为或。

 

[例2] 已知函数和的图象关于原点对称，且。

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式；

（3）若在上是增函数，求实数的取值范围。

解：（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为

则   即

∵ 点在函数的图象上

∴ ，即，故

（2）由，可得

当时，

此时不等式无解

当时，     ∴

因此，原不等式的解集为

（3）

① 当时，在上是增函数     ∴

② 当时，对称轴的方程为

当时，，解得

当时，，解得  

综上，

 

[例3] 如图，函数的图象是中心在原点，焦点在轴上的椭圆的两段弧，则不等式的解集为（    ）

A.                B.

C.                   D.

解：由题意知椭圆方程为，当，时，。又知为奇函数，故可化为。令，当时，，即，解得。由图象易知时，。又为奇函数，故时，也成立。

[例4] 已知，求函数的最小值。

解：由已知

① 当时，，当且仅当时，取“=”，这时

② 当时，令，则

∵      ∴ 在上是增函数

∴ 当时，，即时，

综上，时，；时，

 

[例5] 已知集合，函数的定义域为Q。

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若方程，在内有解，求实数的取值范围。

解：（1）由已知

若，则说明在内至少有一个值，使不等式成立

即在内至少有一个值，使成立

令，则只需，又

当时，，从而

∴            ∴ 的取值范围是

（2）方程在内有解

则方程，即在内有解

分离与，得，故在内有的值，使成立

令，则

∵

当时，

[例6] 产品进入市场，满足的销售规律是价格越高，销售量越少。若某产品的价格为每吨万元，销售量为吨，则与满足关系。

（1）若该产品在某地市场被一个公司垄断，试说明该公司为获得最大收入，不会一味追求价格的提高，并求出收入最大时该产品的价格。

（2）若该产品由甲、乙两家公司销售，它们的销售量分别记作、，于是；若乙公司的销售量为10吨，请问甲公司销售量为多少时，其收入最大？

（3）两个公司在市场上相互竞争与联合垄断相比，哪一种情况对购买这种产品的消费者不利？请证明你的结论。

解析：（1）设该公司收入为S，则

∵      ∴

当时，，这时公司收入最大    ∴ 公司不会无限提高价格

（2）设甲公司收入为

∵ ，

∴ ，与（1）同理知时，这是的最大值

故甲公司的销量为10吨（与乙相等）时收入最多。

（3）对消费者是否有利主要是看两个指标：产品价格和销量，如产品价格高且销量小，对消费者不利。

设甲、乙联合垄断市场，这种情况相当于（1），两公司为追求最大收入，产品的市场价格为每吨15万元，总销量为15吨。

若不允许甲、乙联合垄断市场，设，又，

则，在时最大，此时。

显然，这时的产品市场价比垄断时低，还可看到，非垄断比垄断时的产品销量也大，事实上，

综上，可知垄断对消费者不利。

 

[例7] 已知，，与的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的实数的取值范围。

解析：由题意有

即，，

又     ∴

解得或

又∵ 当时，，不符合题意

综上，知所求的取值范围为或且

 

[例8] 已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有。

（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式；

（3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围。

解析：（1）在上为增函数，任取

则

∵      ∴

由已知，又

∴ ，即在上为增函数

（2）∵ 在上为增函数，故有

由此解得

（3）由（1）可知，在上是增函数，且

故对，恒有

∴要使对所有，恒成立

即要成立，故成立。

记，对，恒成立，只需在上的最小值大于等于零。

故或     解得或或

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 关于的不等式的解集是，则等于（    ）

A.         B. 24              C. 14             D.

2. 若，则x的取值范围是（    ）

A.                           B.              

C.                             D.

3. 不等式的解集为（    ）

A. （0，1）                       B.            

C.                          D. R

4. 命题：不等式的解集为，命题：在中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的充分必要条件，则（    ）

A. 真假                       B. “且”为真

C. “或”为假            D. 假真

5. 若实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ）

A.                          B.

C.             D.

6. 将进货单价为8元的某商品按10元一个售出时，能卖出200个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量减少20个，为了获得最大利润，售价应定为（    ）

A. 11元         B. 12元         C. 13元         D. 14元

7. 不等式的解集是（    ）

A. 或                 B.

C. 或                 D.

8. 已知，则的最小值为（    ）

A.          B.          C.             D.

 

二. 解析题

1.       已知函数，解不等式。

2. 定义域在上的函数，对任意，都有成立，且当时，。

（1）求的值；

（2）证明在上是单调函数；

（3）若，试比较与的大小。

3. 某段铁路线上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度km/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

（1）分别写出列车在B、C两站的运行误差；

（2）若要求列车在B、C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围。

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. A    

解析：由题意知，，解得，，故

2. D   

解析：由得，所以，解得或，即的取值范围是

3. A

解析：∵ ，与异号   ∴ ，即

4. B

解析：，即，故为真。

若，，则

若A为钝角或直角，B为锐角可由单位圆知

故也为真

5. C

解析：的几何意义是直线的右上方的平面区域，故只需让圆在直线的右上方即可。圆心C（0，1）到直线的距离，令，或（舍），故

6. D          

解析：设售价为元，利润为元，由题意知

故当元时，利润最大

7. A           

    解析：原不等式，即或

8. A

解析：，

当且仅当，即时，取得最小值

 

二.

1.

解析：（1）当时，即解

即，不等式恒成立，即

（2）当时，即解，即

因为，所以

由（1）（2），得原不等式的解集为或

2.

解析：（1）令，则，即

（2）证明：设，则     ∴

又∵ ，故

即

∴ 在上为单调减函数

（3）由题意知，当时，

，

∵ ，且在上为减函数

∴ ，即

3.

解析：（1）列车在B、C两站的运行误差（单位：分钟）分别是和

（2）由于列车在B、C两站的运行误差之和不超过2分钟

所以（*）

当时，（*）式变形为，解得；

当时，（*）式变形为，解得；

当时，（*）式变形为，解得

综上所述，的取值范围是