锥曲线方程及性质

圆锥曲线方程及性质

椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质及其应用

 

二. 课标要求：

1. 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2. 经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3. 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线的有关性质。

 

三. 命题走向：

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考查圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

 

【教学过程】

基本知识要点回顾：

1. 椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2. 双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）*。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

	椭圆		双曲线
定义
方程
焦点
注意：如何由方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。

②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

<1>注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

<2>实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

<1>定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；

<2>等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

<3>注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3. 抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（，0），它的准线方程是；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性	轴	轴	轴	轴
顶点
离心率

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。

 

【典型例题】

例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；

（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；

（3）焦点在轴上，，；

（4）焦点在轴上，，且过点；

（5）焦距为，；

（6）椭圆经过两点，。

解：（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），

∵，，∴，

所以，椭圆的标准方程为。

（2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），

由椭圆的定义知，

，

∴，又∵，∴，

所以，椭圆的标准方程为。

（3）∵，∴，①

又由代入①得，

∴，∴，又∵焦点在轴上，

所以，椭圆的标准方程为。

（4）设椭圆方程为，

∴，∴，

又∵，∴，

所以，椭圆的标准方程为。

（5）∵焦距为，∴，

∴，又∵，∴，，

所以，椭圆的标准方程为或。

（6）设椭圆方程为（），

由得，

所以，椭圆方程为。

点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。

 

例2. （06山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是                             。

解：已知为所求；

点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。

 

例3. （1998全国理，2）椭圆＝1的焦点为F₁和F₂，点P在椭圆上.如果线段PF₁的中点在y轴上，那么|PF₁|是|PF₂|的（    ）

A. 7倍                 B. 5倍                C. 4倍                D. 3倍

解：不妨设F₁（－3，0），F₂（3，0）由条件得P（3，±），即|PF₂|＝，|PF₁|＝，因此|PF₁|＝7|PF₂|，故选A。

点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。

 

例4. （1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程；

（2）求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；

（3）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。

解：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，

∵，∴，∴。

所以所求双曲线的方程为；

（2）椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。

又∵过点，∴。

综上得，，所以。

点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。

（3）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。

将分别代入方程①中，得方程组：

将和看作整体，解得，∴即双曲线的标准方程为。

点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。

 

例5. （06上海卷）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.

解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是；

点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。

 

例6. （1）（06福建卷）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（    ）

A. （－1，2）      B. （1，2）         C. ［2，＋∞］     D. （2，＋∞）

（2）（06湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（    ）

A.                B.                C.              D.

（3）（06陕西卷）已知双曲线－＝1（a＞）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（  ）

A. 2                     B.                 C.                 D.

解：（1）双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，

∴ ≥，离心率e²＝，∴ e≥2，选C。

（2）过双曲线的左顶点（1，0）作斜率为1的直线：y＝x－1，若与双曲线的两条渐近线分别相交于点，联立方程组代入消元得，

∴ ，x₁＋x₂＝2x₁x₂，

又，则B为AC中点，2x₁＝1＋x₂，代入解得，

∴b₂＝9，双曲线的离心率e＝，选A。

（3）双曲线（a＞）的两条渐近线的夹角为，则，∴ a²＝6，双曲线的离心率为，选D。

点评：高考题以离心率为考查点的题目较多，主要实现三元素之间的关系。

 

例7. （1）（06江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）²＋y²＝4和（x－5）²＋y²＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（    ）

A. 6                     B. 7                     C. 8                     D. 9

（2）（06全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则

A.               B.                 C.                   D.

解：（1）设双曲线的两个焦点分别是F₁（－5，0）与F₂（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F₁三点共线以及P与N、F₂三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF₁|－2）－（|PF₂|－1）＝10－1＝9故选D。

（2）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m＝，选A。

点评：关于双曲线渐近线、许多距离问题也是考查的重点。

 

例8. （1）焦点到准线的距离是2；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，2），求它的标准方程。

解：（1）y＝4x，y＝4x，x＝4y，x＝4y；

方程是x＝8y。

点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。

 

例9. （1）（06安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（   ）

A.                  B.                    C.                  D.

（2）（浙江卷）抛物线的准线方程是（  ）

（A） （B） （C）       （D）

（3）（06上海春）抛物线的焦点坐标为（   ）

（A）       （B）       （C）      （D）

解：（1）椭圆的右焦点为（2，0），所以抛物线的焦点为（2，0），则，故选D；

（2）2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A；

（3）（直接计算法）因为p＝2，所以抛物线y²＝4x的焦点坐标为 。应选B。

点评：考查抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算即可。

 

例10. （1）（全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）

A.                    B.                    C.                    D.

（2）（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。能使这抛物线方程为y²＝10x的条件是        . （要求填写合适条件的序号）

（3）（2001广东、河南，10）对于抛物线y²＝4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（   ）

A. （－∞，0）           B. （－∞，2            C. ［0，2］                D. （0，2）

解：（1）设抛物线上一点为（m，－m²），该点到直线的距离为，当m＝时，取得最小值为，选A

（2）从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤。

（3）设点Q的坐标为（，y₀），

由|PQ|≥|a|，得y₀²＋（－a）²≥a².

整理，得：y₀²（y₀²＋16－8a）≥0，

∵y₀²≥0，∴y₀²＋16－8a≥0.

即a≤2＋恒成立.而2＋的最小值为2.

∴a≤2.选B。

点评：抛物线问题多考查一些距离、最值及范围问题。

 

例11. （1）（07重庆文）已知以F₁（2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为

A.                 B.                 C.                D.

（2）（07四川文）已知抛物线y＝x²＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

A. 3                     B. 4                      C. 3              D. 4

解：（1）由直线与圆锥曲线相切△＝0得关于a的方程，求得a＝，故选C

（2）设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出。选C。

点评：（1）和（2）题都考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

 

［思维小结］

在复习过程中抓住以下几点：

（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》。并明确考点及对知识点与能力的要求，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键；

（2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算；

（3）焦半径公式：抛物线上一点P（x₁，y₁），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

 

【模拟试题】

一、选择题

1. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（    ）

A.                    B.                     C.                     D.

2. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（  ）

A.                              B.       

C或          D. 以上都不对

3. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（   ）

A. 双曲线             B. 双曲线的一支         C. 两条射线        D. 一条射线

4. 设双曲线的半焦距为，两条准线间的距离为，且，那么双曲线的离心率等于（    ）

A. 2                     B. 3                      C.                D.    

5. 抛物线的焦点到准线的距离是（   ）

A.                    B.                     C.                   D.

6. 若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（   ）。

A.        B.      C.      D.

7. （07江苏理）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为

A.                  B.                C.                D.

8. （07福建理）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（    ）

A.                   B.

C.                 D.

9. 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　　）

A.          B.            C.             D.

10. 设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）

A. 必在圆上                  B. 必在圆外

C. 必在圆内                  D. 以上三种情形都有可能

 

二、填空题

1、若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为______________。

2、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_____________。

3、若曲线表示双曲线，则的取值范围是                。

4、抛物线的准线方程为___________。

5、椭圆的一个焦点是，那么     。

6、（07江苏理）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　　　。

 

三、解答题

1. 为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

2. 在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。

3. 双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

4. 若动点在曲线上变化，则的最大值为多少？

 

【试题答案】

一、选择题

1、D  点到椭圆的两个焦点的距离之和为

2、C 

得，或

3、D  ，在线段的延长线上

4、C 

5、B  ，而焦点到准线的距离是

6、C  点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，得

7、A

8、A

9、B

10、C

 

二、填空题

1、   当时，；

当时，

2、   设双曲线的方程为，焦距

    当时，；

    当时，

3、  

4、  

5、   焦点在轴上，则

6、椭圆的定义和正弦定理的应用

 

三、解答题

1、解：由，得，即

当，即时，直线和曲线有两个公共点；

    当，即时，直线和曲线有一个公共点；

    当，即时，直线和曲线没有公共点。

2、解：设点，距离为，

当时，取得最小值，此时为所求的点。

3、解：由共同的焦点，可设椭圆方程为；

双曲线方程为，点在椭圆上，

双曲线过点的渐近线为，即

所以椭圆方程为；双曲线方程为

4、解：设点，

令，，对称轴

当时，；当时，