直线y=1与曲线y=x2-│x│+a有四个交点，a的取值范围是

1、

直线y=1与曲线y=x2-│x│+a有四个交点，a的取值范围是

先画出y=x2-x+a的大概图像，，不难发现系开口向上对称轴为1/2嘅二次函数

再用函数变换成 I X I，是一个类似欧米噶嘅W型图形，根据题意移动图像即刻

 

解：设f（x）=x2-│x│+a

       由题得，直线y=1与f（x）有四个交点

       由函数图像可知当X=0时，a满足 a＞1

       且（4ac-b2）/4a=（4a-1）/4 ＜1

       解得a∈（1，5/4）

       ∴a取值范围为 （1，5/4）

这道题目用图像法比较简单。 
y=x2-|x|+a的草图你应该可以大致画出来吧。 
这是个偶函数图像，对称轴就是y轴，整个函数图像是个w形，该函数的最小值在x=-1/2或x=1/2时取得，为y=a-（1/4）。与y轴交点是y=a 
你想想，要y=1穿过这个w，并且有4个交点，那么y=1只能介于y=a与y=a-（1/4）之间 
因此有1>a-(1/4)且1解得a∈（1，5/4） 

如果你对图像不熟悉，那就只能用函数法了。不过也挺快的。 
Y=1与曲线Y=XX-|X|+a有四个交点 
也就是x2-|x|+a-1=0有4个解 
也就是x2-x+a-1=0有2个解（x>0)，x2+x+a-1=0也有2个解(x<0) 
当x>0时，x2-x+a-1=0要有2个解。那么必须△>0， 同时因为x>0，所以还要满足两个解都大于0，那么就要x1+x2>0,x1x2>0 
这样得到a的取值范围是1而x<0时也是相同的道理。 
即△>0,x1+x2<0,x1x2>0 
解得的结果还是1把两种结果并起来，所以a的取值就是1

已知y=x2-|x|+a是偶函数，利用f(x)=f(-x)判定即可。
所以曲线关于y轴对称，由题意可知，要使直线y=1与曲线有四个交点，则只需要求y=1与曲线在x>0上有两个交点即可。
当x>0时，y=x2-x+a=(x-0.5)2+a-0.25.........以x=0.5为对称轴，开口向上的抛物线
要使该曲线与y=1有两个交点，首先要求抛物线的最低点要<1，即a-0.25<1，也就是a<1.25
其次要求曲线在x=0这点的值大于1，也就是y(0)=a>1。。。。。
这样一来一个交点位于(0,0.5),一个交点(0.5,+∞)，在x<0时也有两个。
综上，1<a<1.25
如果没有学习过偶函数，那么可以考虑在x<0时，|x|=-x，跟上面讨论方法类似，也可以得出结论。
做这道题，最好画个草图，曲线的图形像“W ”，这样更容易理解些。

正确答案：
 

1、定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。 
2、二次函数的图像：是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴；
③有顶点；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 
3、性质：二次函数y=ax2+bx+c， 
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； 
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。 
4、二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 
（2）应用二次函数求实际问题中的最值： 
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 

2、
 
 

A。当n=0时，幂函数y=x^n的图像是一条直线, 错，x≠0
B。幂函数的图像一定过点(0，0)和(1，1)， 错如y=x分之1
C。 幂函数的图像不可能经过第四象限，  对。
D。 若幂函数y=x^n是奇函数，则其一定是单调增函数， 错

3、

设函数f(x)是定义域在［-2,2］上的偶函数，且在[0,2]上单调递减，若f(1-m)小于f(m).求实数m的取值范围.

函数f(x)是定义域在［-2,2］上的偶函数，且在[0,2]上单调递减
-2<=1-M<=2
-2<=M<=2
-----  -1<=M<=2
f(1-m)小于f(m).
|1-m|>|m|
1-2m+m^2>m^2
m<1/2
 
-1<=m<1/2

   -2        0        2
f(1-m)<f(m)      则1-m这一点到y轴的水平距离小于m到y轴的距离
l 1-m l<l m l   两边同时平方  1-2m+m平方<m平方
1-2m<0
m>1/2  且  定义域在【—2，2】
所以1/2<m≤2
 
 
1、单调性的定义：对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；
当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间上的减函数。如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。 
2、判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法，
（1）定义法：其步骤是： ①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； 
②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形； 
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小； 
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值

[-1，）？？？

提示：
因为定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，
由题意可知|1-m|≤2.|m|≤2
又f(1-m)<f(m)
则|1-m|>|m|
两边同时平方得：（1-m)^2<m^2整理得：1-2m<0
解得：m>1/2
所以实数m的取值范围为{m|m>1/2} 

当0<m<2时，∵y=f(x)在[0,2]上增函数，∴1-m<m 得到m>1/2
∴1/2<m<2
当-2<m<0时  ∵y=f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且在[0,2]上增函数
∴y=f(x)在[-2，0]是减函数
∴1-m>m   得到m<1/2
∴-2<m<0
最终得到m∈[-2，0]∪[1/2，2]

因为函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，在[0,2]上增函数,
（1-m）＜f（m）所以f（/1-m/）＜f（/m/）表示绝对值
/1-m/</m/
/1-m/<=2
/m/<=2    求三个的公共部分就可以了
4、
已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数；
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.
（1）证明渐近线（2）f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

解析:
（1）证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）-f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解  方法一  设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
方法二  设x1＜x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.


（1）赋值法：令x=y=0可求得f（0），再令y=-x即可判定其奇偶性；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1），由x＞0时，有f（x）＜0可得f（x2）与f（x1）的大小关系，由单调性定义即可判定单调性；
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数，从而可判断其最值在端点处取得，再由f(1)＝?
1
2及已知条件即可得到答案；
解答：解：（1）令x=y=0得f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
又x∈R，所以f（x）为奇函数．
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1），
有f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
又∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在R上是减函数．
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数．
∴f（x）max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f(x)min＝f(6)＝6f(1)＝6×(?
1
2
)＝?3．
1)对于任意x,y有f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0
令y=-x, 则f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(x)+f(-x)=0
∴f(x)是奇函数
2)∴f(3)=-f(-3)=-a
令x=y=3,则f(3+3)=f(3)+f(3)=2f(3)=-2a,即f(6)=-2a
令x=y=6,则f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=-4a,即f(12)=-4a
令x=y=12,则f(12+12)=f(12)+f(12)=2f(6)=-8a,即f(24)=-8a
∴f(24)=-8a
2)对任意x1>x2,有x1-x2>0
∵对于任意x∈R+,f(x)<0
∴f(x1-x2)<0
∴f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
∵f(x)是奇函数
∴f(-x2)=-f(x2)
∴f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2)
∴f(x)是R上的减函数
∴f(x)在[-2,6]上最大值为f(-2),最小值为f(6)
令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=-1
令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=-2
令x=2,y=4,则f(6)=f(2)+f(4)=-1-2=-3
∵f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f(2)=1
∴f(x)在[-2,6]上最大值为f(-2)=1,最小值为f(6)=-3
5、
已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+2，求函数f(x)的解
f(x)为R上的奇函数，
f(x)=-f(-x)
令x=0得：f(0)=-f(-0)
即f(0)=-f(0)，2f(0)=0，所以f(0)=0。

已知x>0时,f(x)=x^2-2x+2
当x<0时,-x>0
f(-x)=(-x)^2-2(-x)+2
=x^2+2x+2
因为f(x)为奇函数，f(x)=-f(-x)
所以f(x)=-x^2-2x-2（当x<0时）

函数解析式是：
f(x)=x^2-2x+2(x>0)
f(x)=0,x=0
f(x)=-x^2-2x-2,(x<0)

当X<0,那么-X>0
f(-X)=(-X)^2-2(-X)=X^2+2X
因为f(X)是奇函数,f(-X)=-f(X)
所以f(X)=-f(-X)=-X^2-2X

f(x)=x^2-2x, x>=0
=-x^2-2x, x<0 


已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，则f（2010）的值为
0
．

由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，我们不难得到函数f（x）是一个周期函数，而且我们可以求出它的最小正周期T，根据周期函数的性质，我们易求出f（2010）的值．
解答：解：∵对任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立
∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴函数f（x）是一个周期函数
且T=4
故f（2010）=f（0）
又∵定义在R上的奇函数其图象必过原点
∴f（2010）=0
故答案为：0

已知f(x)是定义在R上的奇函数,若当x大于等于0时,f(x)=2^x+2x+b（b为常数），则f（-1）=______
●奇函数的定义
如果对定义域的任意x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)叫奇函数。
●奇函数定义的文字叙述：
如果对于定义域的任意自变量，都有自变量互为相反数，函数值也互为相反数，那么这个函数是奇函数。
由这一点，我们得到奇函数的一个重要性质。奇函数的定义域关于原点对称。这也是函数为奇函数的必要条件。往往成为判断一个函数为奇函数的首先考虑问题。在选择题中，常用于否定备选项。
有的网友提出在（-1,2）上判断f(x)的奇偶性，是没有意义的。应为-1<x<2,则-2<-x<1,这时f(-x)本身就没有意义，更别说意思了。
●奇函数的几何意义是，奇函数的图像关于原点对称。奇函数的图象是中心对称图形。
f(1)=4+b
f(-1)=-f(1)=-4-b

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）为单调递减函数；
①直接写出a的范围（不必证明）；
②若对任意实数m，f（m-1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）当x＜0时，-x＞0，由已知表达式可求f（-x），根据奇函数性质可求f（x）；
（2）①借助二次函数图象的特征及奇函数性质可求a的范围；
②利用奇函数性质及单调递减性质可去掉不等式中的符号“f”，进而可转化为函数最值问题处理．
解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，又因为f（x）为奇函数，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x2+2x）=x2-2x，
 所以f（x）=
x22x，x≥0
x22x，x＜0
．
（2）①当a≤0时，对称轴x＝
a
2
≤0，所以f（x）=-x2+ax在[0，+∞）上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，
当a＞0时，f（x）在（0，
a
2）递增，在（
a
2，+∞）上递减，不合题意，
所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．
②f（m-1）+f（m2+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m2+t），
又f（x）是奇函数，∴f（m-1）＜f（-t-m2），
又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m-1＞-t-m2恒成立，
所以t＞?m2m+1＝?(m+
1
2
)2+
5
4恒成立，所以t＞
5
4．
即实数t的范围为：（
5
4，+∞）．

由于函数f(x)是奇函数，
那么f(x)=-f(-x)
当x<0时，-x>0，那么f(-x)=-x(-x-2)
所以f(x)=-f(-x)=-[-x(-x-2)]=x(-x-2)
故:
当x>=0时，f(x)=x(x-2)
当x<0时，f(x)=x(-x-2)

奇函数关于原点对称：x<0时f(x)= -x(x+2)。图像是双钩。。。分段函数
x>=0时:f(x)=(x-1)^2-1 在（0,1）为减函数，x>1时为增函数！
对称
所以x<0:（-1，0）为减函数，x<-1时为增函数！
综上（-1,1）为减其他为增
6、
某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加收入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为:H(x)=500x-(1/2)x^2【二分之一再乘以x的平方】，其中x是产品售出的数量，且0≤x≤500。
(1)若x为年产量，y为利润，求y=f(x)的解析式;
(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？
(1):f(x)=H(x)-5000 x取值范围[0,100)-----1
f(x)=H(x)-5000-2500 x取值范围[100,200)-----2
 f(x)=H(x)-5000-5000  x取值范围[100,300)------3
f(x)=H(x)-5000-7500  x取值范围[300,400)-------4
f(x)=H(x)-5000-10000  x取值范围[400,500)------5
(2):1时：x=100
2:x=200
3:x=300
4:x=400
5:x=499
故x=499时利润最大，最大为249500- 62001-10000=177499
 
 

某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部．已知年销售收入为H(x)＝500x
1
2
x2，其中x是产品售出的数量．
（1）若x为年产量，y表示年利润，求y=f（x）的表达式．（年利润=年销售收入-投资成本（包括固定成本））
（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？

（1）本题考查的是分段函数的有关知识，当0≤x≤500时，w=500x-
1
2
x2-（5000+25x），当x＞500时，w=500×500-
1
2-5002；
（2）用配方法化简解析式，求出最大值．
解答：解：（1）当0≤x≤500时，产品全部售出
∴W＝500x
1
2
x2(5000+25x)
即 W＝?
1
2
x2+475x5000（2分）
当x＞500时，产品只能售出500台
∴W＝500×500?
1
2
×5002(5000+25x)
即，W=-25x+120000（4分）
（2）当0≤x≤500时，W＝?
1
2
(x475)2+107812.5（6分）
当x＞500时，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107812.5元，最佳生产计划475台．（10分）
点评：本题考查的是二次函数的实际应用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，属于基础题．