2019年高考数学一轮复习课时分层训练5函数的单调性与最值

课时分层训练(五)　函数的单调性与最值

A组　基础达标

一、选择题

1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )

A．y＝2－x B．y＝x

C．y＝log2xD．y＝－eq \f(1,x)

B　[由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．]

2．(2017·广州七中期末)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )

【导学号：79140027】

A．[1,2]B．[－1,0]

C．[0,2]D．[2，＋∞)

A　[

f(x)＝|x－2|x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x＜2.))其图像如图，

由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]

3．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( )

A．(－∞，1]B．(－∞，－1]

C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)

A　[因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.]

4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是( )

A．y＝x2B．y＝sin x

C．y＝eq \f(1,x2＋1)D．y＝eq \r(1－x2)

D　[A中，x2≥0；B中，－1≤sin x≤1；C中，0＜eq \f(1,x2＋1)≤1；D中，0≤eq \r(1－x2)≤1，故选D.]

5．定义新运算 eq \o\ac(○,+)：当a≥b时，a eq \o\ac(○,+)b＝a；当a＜b时，a eq \o\ac(○,+)b＝b2，则函数f(x)＝(1 eq \o\ac(○,+)x)x－(2 eq \o\ac(○,+)x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )

A．－1B．1

C．6D．12

C　[由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.]

二、填空题

6．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．

(－∞，－1)　[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，

t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]

7．函数f(x)＝eq \f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq \f(1,3)，则a＋b＝________.

【导学号：79140028】

6　[易知f(x)在[a，b]上为减函数，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fa＝1，,fb＝\f(1,3)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＝1，,\f(1,b－1)＝\f(1,3)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4.))

∴a＋b＝6.]

8．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．

(－∞，1]∪[2，＋∞)　[函数f(x)＝x2－2ax－3的图像开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

由图像可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ax＋eq \f(1,a)(1－x)(a＞0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值.

【导学号：79140029】

[解]　f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))x＋eq \f(1,a)，当a＞1时，a－eq \f(1,a)＞0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝eq \f(1,a)；当0＜a＜1时，a－eq \f(1,a)＜0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，0＜a＜1，,\f(1,a)，a≥1.))∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a＝1时，g(a)取最大值1.

10．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

[解]　(1)证明：设x1＜x2＜－2，

则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1＋2)－eq \f(x2,x2＋2)

＝eq \f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).

∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)f(x)＝eq \f(x,x－a)＝eq \f(x－a＋a,x－a)＝1＋eq \f(a,x－a)，

当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，

又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，

∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]．

B组　能力提升

11．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )

A．[－1,2)B．[0,2)

C．[0,1)D．[－1,1)

C　[函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤a2－a≤2，,－2≤2a－2≤2，,2a－2＜a2－a.))

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤a≤2，,0≤a≤2，,a＜1或a＞2，))∴0≤a＜1，故选C.]

12．(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,x2－2x，x＜0.))若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )

A．[－1,0)B．[0,1]

C．[－1,1]D．[－2,2]

C　[因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.]

13．函数y＝eq \f(2x＋k,x－2)与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．

(－∞，－4)　[由于y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y＝eq \f(2x＋k,x－2)＝eq \f(2x－2＋4＋k,x－2)＝2＋eq \f(4＋k,x－2)在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.]

14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<>

(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值.

【导学号：79140030】

[解]　(1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则eq \f(x1,x2)>1，

当x>1时，f(x)<>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))<>

即f(x1)－f(x2)<>f(x1)f(x2)，

∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，

∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,3)))＝f(9)－f(3)，

而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.