函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值

函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值

 

二. 本周教学重、难点：

1. 函数的单调性

设函数在某个区间内可导

（1）如果时，则函数为增函数

（2）如果时，则函数为减函数

（3）如果恒有，则为常函数

2. 函数的极值

（1）函数极值的概念

（2）判断是极值的方法

设函数在点及其附近可导，且=0

① 如果的符号在点的左右由正变负，则为函数的极大值；

② 如果的符号在点的左右由负变正，则为函数的极小值；

③ 如果的符号在点的左右符号不变， 则不是函数的极值。

  3. 函数的最值

（1）函数最值的概念

（2）求在上最值的方法

① 设是定义在区间上的函数，在内可导，求函数的最值，可分三步进行：

<1> 求函数在内的极值；

<2> 求函数在区间端点的函数值；

<3> 将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

② 若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值，若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。

 

【典型例题】

[例1] 讨论函数在内单调性。

解：∵

由即   ∴

即函数在上单调递增

由即   ∴ 或

∴ 在（0，）上单调递减，在（）内也单调递减

 

[例2] 设函数，其中，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数。

解： 

∵    ∴

故当时，恒成立，即时，在上单调递减，又当时，在区间上存在两点，满足，即，所以函数在区间上不是单调函数。

 

[例3] 已知函数（且）在定义域上是减函数，求的取值范围。

解：∵

由得或  

∵    ∴    又由

∴    ∴

 

[例4] 已知，且，设，问：是否存在实数使在上是减函数，并且在上是增函数。

解：由，得，得

∴ 是连续函数，

由在上是减函数，且在上是增函数

∴

∴ ，即存在实数使满足条件

 

[例5] 设函数（其中）

（1）若在处取得极值，求常数的值；

（2）若在上为增函数，求的取值范围。

解：

（1）

∵ 在处取得极值    ∴

解得

经验证知当时，在处取得极值

（2）令    得

当时，若   则

∴ 在和上为增函数

故当时，在上为增函数

当时，若   则

∴ 在和上为增函数，从而在上也为增函数

综上所述，当时，在上为增函数

 

[例6] 已知为实数，，若在和上都是递增的，求的取值范围。

解法一：

∴

函数图象为开口向上且过点的抛物线

由条件得

即    ∴

即的取值范围是

解法二：令，即

由求根公式得

可设，

∴ 在和上非负

由题设可知：当或时

，从而

即

解不等式组得

∴ 的取值范围是

 

[例7] 设，函数的最大值为1，最小值为，求的值。

解：

当变化时，变化情况列表如下：

			0				1
		+	0	－	0	+
		↑		↓		↑

当时，取极大值，而

     ∴ 需要比较与的大小

∵     ∴ 最大值为

又

∴    ∴

∴

 

[例8] 已知函数，若在上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

解：

由得或

∵ 在上

∴ 在上单调递增

∵ 在上

∴ 在上单调递减

因此和分别是在区间上的最大值和最小值

又 ∵     ∴    解得

∴    

即函数在区间上的最小值为

 

[例9] 设函数，求正数的范围，使对任意的都有不等式成立。

解：，令得

当时，

当时，

∴ 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点

要使恒成立    ∴

∴

解得

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 函数的单调递增区间为（    ）

   A.     B.     C.     D. 及

2. 若函数的递减区间为，则的取值范围是（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 函数的一个单调区间为（1，2），则（    ）

A.

B.

C.

D.

4. 函数，已知在时取得极值，则等于（    ）

    A. 2   B. 3    C. 4    D. 5

5. 函数有（    ）

A. 极小值，极大值1                          B. 极小值，极大值3

C. 极小值，极大值2                         D. 极小值，极大值3

6. 函数在（0，1）内有极小值，则（    ）

    A.     B.     C.     D.

7. 函数的最小值为（    ）

    A. 0    B.     C.     D.

8. 函数在区间上的最大值为（    ）

A. 10    B.     C.     D.

 

二. 解答题：

1. 确定下列函数在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数：

（1）；

（2）；

（3）。

2. 求函数的极值。

3. 如果函数在1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求的值。

 

 

 

【试题答案】

一.

1. D

解析：

由，得或

2. A    3. C

4. D

    解析：。

5. D

解析：，令，得

当时，，函数在这个区间为增函数

当或时，，函数为减函数

∴ 当时，有极小值；当时，有极大值3

6. A

解析：由（因有极小值，故=0有解），得

且当时，

当时，

当时，

又 ∵ 在（0，1）内有极小值

∴    ∴

7. A

解析：，令，得

又  ∴

8. A

解析：。由得或

∵ ，

，

∴ 的最大值为10

 

二.

1. 解：

（1）    令，解得

因此，当时，是增函数

再令，解得

因此，当时，是减函数

（2）

令，解得或

因此，当及时，是增函数

再令，解得

因此，当时，是减函数

（3）

令，解得

因此，当时，是增函数

再令，解得

又函数的定义域为，即

因此，不存在某一区间，使是减函数

2. 解：函数的定义域为

∵     令得

当变化时，的变化情况如下表：

				1	（1，2）	2
	+	0	－		+	0	+
	↑		↓		↑	3	↑

故当时，

3. 解：，令

即，

∵ 是极值点

∴

又      ∴ 可疑点为

若

当变化时，的变化情况如下表：

				0	（0，1）	1
	+	0	－	0	－	0	+
	↑	极大	↓	无极值	↓	极小	↑

由上表可知，当时，有极大值，当时，有极小值

∴

若，同理可得