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数学中的哲学观（唯物与唯心） 1. 从数学运算的对立统一、不同的数学知识之间的相互联系、数学理论发展过程的量变到质变、数学中的否定之否定规律……数学中充满着辩证法； 2. 述古希腊的数学是形成西方形而上学传统的关键机制 探讨毕达哥拉斯学派中“数是本原”的具体含义。 【关键词】数学·辩证法·对立统一·矛盾·相互联系·形而上学·数是本原 一、数学中的辩证法（唯物主义） 唯物辨证法是指世界是客观的、物质世界，是普遍联系和永恒发展的。 物质产生、运动和变化、发展的。 数学中充满着辩证法,古今数学家都把自然辩证法的思想作为研究数学的指导思想, 从而取得了一个个成果。 数学中充满着矛盾 ，它们是有区别的，但它们又具有相对性、依存性,在一定条件下可以相互转化,因此又是统一的。 一、数学运算的对立统一 A同级运算 数学中的互逆运算——现实世界中正与逆的矛盾在数学中的具体反映, 加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、三角函数与反三角函数、微分与积分…… 互逆运算互相依存,不可分割，在一定条件下相互转化： 数学运算正与逆的存在与统一,是解决数学问题的有力杠杆。 B高级运算与低级运算 数学运算的层次—第一、二和三级运算：加与减、乘与除、乘方与开方 这里较高一级的运算与较低一级运算之间有一定联系,且能相互转化。 例如, 乘法是加数相同的加法, 乘方是因数相同的乘法； 多元函数的导数归结为求一元函数的导数, 多元函数的积分归结为一元函数的微分, 并且由“牛顿—莱布尼兹公式”,将一元函数的微分与积分联系起来。 二、常量与变量的对立统一 常量与变量是数学中两个非常重要的概念, 常量是反映事物相对静止状态的量,变量是反映事物运动变化状态的量, 三、有限与无限的对立统一 现实世界中的有限与无限,反映在数学中量的有限与无限。 有限与无限有着质的差异： 数学中常以有限认识无限; 无限既作为有限的总和而存在,又作为一切有限的对立物而存在;又可作为描述量的变化过程而存在。 1.有限集与无限集 一个有限集和它的任何真子集之间都不能建立一一对应关系。 但在无限集中,就不完全是这样。 比如,自然数集可以和它的真子集建立一一对应关系,一个有限的数集必有最大数与最小数,但是无限数集就不一定是这样。 2.有限数集与无限数集的交换律与结合律 对于数的有限和满足交换律与结合律, 在无限和式中就不能任意运用这些定律，否则将导致谬误的结果。 3. 直与曲可以相互转化 现实中直与曲是两种不同的形象, 数学里区别是极为明显的： 几何里,前者曲率是零,后者曲率非零。 代数里,前者是线性方程,后者是非线性方程, 但是它们也是相互联系的，圆周的计算用直线来表现。具有渐近线的曲线,直线完全化为曲线,曲线完全化为直线，平行的概念也同样趋于消失,两条线并不是平行的,它们不断地相互接近,但永远不相交。 3、数学理论中体现着发展过程的量变到质变规律。 量变质变规律指出了量变、质变是事物运动变化的两种最基本状态,事物的发展变化都表现为由量变到质变,再由质变引起新的量变的反复过程。 一方面,数学中每种概念的存在都有着特定的量的界限,量变超出界限,就会质变,形成新概念,新概念又蕴含新的量变。 例如,正多边形边数的范围是“大于或等于3的有限数”,如果边数的超出此范围就不再是正多边形,变为线段或圆。(边数小于3时为线段;边数超出有限数范围,即趋于无穷时为圆。)不论线段还是圆,都有自身独特的量变。 另一方面,数学理论的形成过程是从量变到质变、从近似到精确的过程。 比如求曲边梯形的面积,先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形,如果分割足够密,这些小曲边梯形可以近似地看成小矩形,然后利用求矩形面积的方法求出各个小曲边梯形面积的近似值,其和就是原曲边梯形面积的近似值。因为所求的仅为近似值,所以上述过程是量变的过程,没有发生质的飞跃。如果分割无限加密,即各个小曲边梯形的最大宽度趋于零时,就得到原曲边梯形的精确面积,发生了从量变到质变的飞跃,这正是定积分理论的基本思想。 4、数学理论的发展过程中体现着否定之否定规律 否定之否定规律揭示了事物自己发展自己的完整过程是:经历两次否定、三个阶段,即由肯定达到对自身的否定,并再由否定进到新的肯定——否定之否定。每一个数学理论的发展符合否定之否定规律。 在理论最初形成时,该理论得到肯定;随着实践的需要和研究的深入,该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定;进而数学家们开始研究如何使该理论 更完善、更精确,最终得出新的结论,达到新的肯定。此外,数学的运算结果也体现着否定之否定规律,例如,正数取两次相反数(两次否定)仍是正数;命题逻辑中,一个命题的两次否定仍是原命题等。 通过上面的论述我们可以简单地看出一些数学中渗透着的唯物主义哲学观。 从一定意义上来说，数学是哲学产生的基础，而哲学又为数学的发展提供了基本的思路与方法。 二者是相互依存，相辅相成的。也许，也正因为如此他们两个在希腊诞生时被赋予了兄弟一般的名字：“学识”和“智慧”。 二、数学是形而上学的本原（唯心主义） 形而上学之所以能在西方（古希腊）出现并成为传统哲学中的显学， 首先要归于西方数学的激发与维持。概念形而上学的“真身”是在数学。 形而上学的起源上溯到毕达哥拉斯这位主张“数是万物本原”的数理哲学家。 为了论证“数是本原”，毕达哥拉斯学派提出万物与数是“相似”的，而他们用以论证这种相似的最根本理由是结构性的，即认为数中的比率或和谐结构证明万物必与它们相似，以获得存在的能力。比如，“10”对于他们是最完满的数，因为10是前四个正整数之和，而且这四个数构成了名为四元体（tetraktys，四面体）的神圣三角，此组成10的四个基本数或四元体可表现为：1为点，2为线，3为面，4为体；而且是点或1的流动或移动产生了线，线的流动产生了平面，平面的运动产生了立体，这样就产生了可见的世界。毕达哥拉斯派的最有约束力的誓言之一是：“它 [四元体]蕴含了永恒流动的自然的根本和源泉”。对于毕达哥拉斯学派，数字与几何形状， 特别是10以内的数字和某些形状（比如圆形、四面体、十二面体）都具有像“1”、“2”、“4”、“10”那样的语义和思想含义，而且这些含义被表达得尽量与数、形本身的结构挂钩。例如“3”意味着“整体”和“现实世界”，因为它可以指开端、中间和终结，又可以指长、宽、高；此外，三角形是几何中第一个封闭的平面图形，基本的多面体的每一面是三角形，而这种多面体构成了水、火、土等元素，再构成了万物。 所以，“世界及其中的一切都是由数目‘三’所决定的”。而此类的对“数” 的结构意义的把握及其语义赋值和哲理解释是典型的毕达哥拉斯派的风格。从这些讨论可以看出，在毕达哥拉斯学派、也可以说是在西方传统形而上学的主流唯理论的开端这里， 也有一种结构推演的精神在发挥关键性作用。“本原”意味着推演花样的最密集丰满处， 也就是在这个意义上的最可理解处，最有理性处。所以，这里也有一个避不开的问题，即有自身推演力的符号系统[对于毕达哥拉斯是数学符号系统]与它的语言与思想内容的关系的问题，简言之，就是数与言的关系问题。对这个问题处理得成功与否，或在什么意义上成功与失败，决定着毕达哥拉斯派在哲学史上的地位，实际上也决定了西方传统哲学主流后来的发展方向。数学成为科学的楷模，理性的化身。在西方传统哲学中，毕达哥拉斯派论述过的前三个数字和某些图形，比如三角形、圆形，也获得了思想与语言的生命，尤其是，毕达哥拉斯派的“数本原”说中包含的追求可变现象后面的不变本质的倾向，几乎成了西方传统哲学主流中的一 以贯之的“道统”。然而，毕达哥拉斯派对于数、形所做的思想和语言赋值的大部分具体工作都失败了。其中最重要的一个原因是毕达哥拉斯派固守十进制的数字结构和几何形状结构，使得这种意义上的“数”与“言（表达哲学思想的自然语言）”的有机联系无法在稍微复杂一点的层次上建立起来。原因是（1）哪怕以阿拉伯数字为例，十进制数字也要在10个[算上零的话]不同形态的符号后才出现“位置”的含义和“循环”，这就使得整个符号结构很不经济，很不轻巧，冗员杂多，跨度过大，大大削弱了它的直接显示结构意义的能力，也就是“成象”的能力。后来只有两、三个数字和图形获得了重要的哲学含义这个事实暗示着：哲学思维可以与数字或图象有关系，但只能与结构上非常简易者打交道。（2）这种包含过多、过硬的自家符号和循环方式的表达系统很难与其他符号系统及解释符号系统的方式（比如从空间方向、时间阶段、不同的次序与位置出发的解释） 沟通和耦合，于是失去了从结构上多维互连而触类旁通的能力。这样，对数、形的各种语义解释就显得牵强，缺少暗示力和对各种复杂的人生局面的显示力。（3）为了取得数字的象性，毕达哥拉斯派做了大量工作，主要是通过数点排列及其运动使之与几何图形挂钩。然而，绝大多数几何图形离语言和哲学思想还是太远，缺少生存的方向、时间与境域的显示力。而且， 毕达哥拉斯派自己就发现了“无理数”，比如正方形对角线与边之比值，由此而动摇了在这个方向上的努力。（4）为了从根本上改变数、形与语言缺少联通渠道的局面，这一派提出了“对立是本原”。它确实能够极大地简化符号系统的结构，增强数、形的直接表现力和构意能力。然而，在毕达哥拉斯派那里，这种对立不仅仍然潜在地以十进制数字和几何图形为前提，未能获得符号的结构层次上的意义，而且，它对立得还不够真实原发，以致于每个对子的两方的意义未能充分地相互需要，一方可以从“本质”上压制和统治另一方，因而大大限制了这种对立的变通能力和构造能力。所以，在大多数毕达哥拉斯派之数与哲理语言之间很难出现居中的、沟通两者的象，再加上西方文字的拼音特点，致使毕达哥拉斯派的数与言的沟通努力大多是无功的。但他之后的希腊哲学家，比如巴门尼德、柏拉图、亚里士多德等，在保留其基本精神的前提下另辟蹊径，试图在人们普遍使用的语言中找出或构造出最接近数学结构的东西。于是，他们发现了或不如说是发明了一种概念化的自然语言。这种语言似乎具有数学语言的“是其所是”的先天确定性和数学运算那样的推演力，这是一种有意识地去争得数学那样的确定性的语言游戏，几乎就是重言式，却为两千多年的西方哲学确立了“存在”或“是”这个形而上学的大问题。 【参考文献】 1、《古希腊悲剧经典》，罗念生译，北京：作家出版社，1998 年，49页；2、亚里士多德：《形而上学》，昊寿彭译，北京：商务印书馆，1981年，12-13页； 3、若-弗·马泰伊：《毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派》，管震湖译，北京：商务印书馆， 1997年，90页以下； 4 《古希腊哲学》，苗力田主编，中国 人民大学出版社，1989年，78页； 5、《数学中的哲学观浅谈》 考文献： 《数学与人类文明》，蔡天新，浙江大学出版社 《生活与哲学》，张汉云，人民教育出版社 论文《自然科学与哲学》，杨永坤，东北师范大学 |
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