我们知道,函数y=f(x)的反函数一般记为y=f-1(x)。那么,函数y=f(x+a)的反函数是y=f-1(x+a)吗?许多学生弄不清楚这个问题。上海市2009年高考理科第22题,就是针对这一状况而精心设计的。
题目:已知函数y=f(x)的反函数是y=f-1(x),定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”;若函数y=f (ax)与y=f-1(ax)互为反函数,则称y=f(x)满足“a积性质”。
⑴判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足“1和性质”,并说明理由;
⑵求所有满足“2和性质”的一次函数;
⑶设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0,满足“a积性质”,求y=f(x)的表达式。
解:(1)函数g(x)=x2+1(x>0)的反函数是g-1(x)=√(x-1)(x>1),
∴g-1(x+1)=√x (x>0),
而g(x+1)=(x+1)2+1(x>-1),其反函数为y=√(x-1)-1 (x>1),
故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质”.
评注:我们清楚地看到, 函数y=f(x+a)的反函数并不是y=f-1(x+a)。
(2)设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足“2和性质”,k≠0,
∴f-1(x)=(x-b)/k(x∈R), f-1(x+2)=(x+2-b)/k,
而f(x+2)= k (x+2)+b(x∈R),得反函数y=(x-b-2k)/k,
由“2和性质”定义可知(x+2-b)/k=(x-b-2k)/k对(x∈R)恒成立,从而可得k=-1,
于是所求一次函数为f(x)=-x+b。
评注: 一般来说,函数y=f(x+a)的反函数并不是y=f-1(x+a)。有没有特例呢?这里给出了:存在唯一一个具有“2和性质”的一次函数y=-x+b。
(3)设a>0,x0>0,且点(x0 ,y0)在y=f(ax)图像上,则(y0 , x0)在函数y=f-1(ax)图象上,有
f(ax0)=y0 , ①
且f-1(ay0)=x0 , ②
由②得 ay0= f(x0) , ③
①两边都乘以a,得ay0=af(ax0) , ④
由③④知 f(x0)=af(ax0) , ⑤
令ax0=x, 则a=x/x0,
于是由⑤得f(x0)=(x/x0)f(x), 即
f(x)=x0f(x0)/x,