巧用图象面积　解决物理问题

昵称3826483 2013-12-06

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巧用图象面积　解决物理问题

浙江省富阳市第二中学　方明霞

　　物理图像能形象、直观地表达物理规律、描述物理过程、反映物理量间的函数关系。用图象法解题可以避免繁杂的中间运算过程，具有简明、快捷、准确等优点，特别是当某些物理量发生变化，用常规的解析法无法解决时，图象法可以帮助我们快而有效地解决问题。

　　在物理图象的学习和应用中，我们可以从坐标、斜率、截距、面积、交点、拐点等方面分析不同的图象所代表的物理意义。本文仅从“面积”出发，阐释图象的妙用。

　　在物理教学中，我们会经常碰到这样的函数关系：y =ab，其中一个物理量a为恒量，在以a - b为坐标的函数图象中，图线与坐标轴围成的矩形面积代表y的大小。而当a也发生变化时，用一般解析式解决往往比较复杂。在以a - b为坐标的函数图象中，利用“微元”的思想方法，将图线分割成无限小段，每一小段图线都可近似为a恒定，这一小段图线围成的面积近似为矩形，表示这一小块y的大小，将所有小块叠加起来，不难发现图线与坐标轴围成的面积依然代表y的大小。

　　以下是笔者整理的部分图象“面积”的巧用。

　　一、1/v- x图象，图线与坐标轴围成的 “面积”表示时间

　　匀速直线运动中，，t与x、v成反比。反比例函数在数学处理上往往比正比例函数复杂，因此我们通常将其转化为正比例函数，在x-1/v图象上，利用“微元”思想，我们不难发现1/v- x图线与坐标轴围成的“面积”表示时间。

　　例1．一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为x₁ 的A点时速度为v ₁，若B点离洞口的距离为x₂（x₂>x₁），求老鼠由A运动到B所需的时间。

　　解析：老鼠从洞口沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但通过1/v- x图象，我们可以很简洁地得到图中阴影部分的面积即是老鼠由A运动到B 所需的时间。

　　二、v-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示位移

　　例2．在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示。几何线上有两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球的质量均为m，A球带电荷量+Q，B球不带电。开始时两球相距L，在电场力的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生正碰，碰撞中A、B两球的总动能无损失。已知在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，试问：在第一次碰撞以后A、B两球再次不断地碰撞的时间间隔会相等吗？如果相等，请计算该时间间隔T，如果不相等，请说明理由。

　　解析：在第一次碰撞前，A球在电场力作用下以加速度向右匀加速运动，B球保持静止。A球第一次与B碰撞前的速度为，

　　A球与B球碰撞过程动量守恒：

　　A、B两球的总动能无损失：

　　可求得：，，即A、B两球碰后交换速度。

　　第一次碰后，B球以向右做匀速直线运动，而A球又以加速度向右做匀加速运动，当A、B向右发生的位移相等时发生第二次碰撞，第二次碰撞A、B速度又发生交换，碰后B球以A碰前速度向右做匀速直线运动，而A球以B碰前的速度为初速度，仍以为加速度向右做匀加速运动，以后不断重复这样的过程，以此类推。

　　由于这样进行的过程比较复杂，用函数表达式较难解答。若将上述过程用v—t图象表示出来，则如图所示，由于两次碰撞间A、B发生的位移相等，由图线的对称关系可知图中阴影和斜线表示的三角形面积均相等，所以在第一次碰撞以后的过程中，A、B两球再次不断碰撞的时间间隔相等，为T =2t₁=2。

　　例3．如图所示，甲、乙两光滑斜面的高度和斜面的总长度都相同，只是乙斜面由两部分组成，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计拐角处的机械能损失，试分析两球中谁先落地。

　　解析：若用公式求解此题，很难建立简单的函数解析式。若用 v-t图象分析，由于甲、乙两光滑斜面的高度相同，不计拐角处的机械能损失，根据机械能守恒定律可得两球落地时速度大小相同。由于斜面的倾斜程度不同，对两小球进行受力分析可知，乙图中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的加速度小于甲。由于甲、乙两光滑斜面的总长度相同，在v-t图象上，应使两条图线与t轴围成的面积相等，则其v-t图象应如图所示：

　　由v-t图象不难看出，t_甲 < t_乙，乙图中的小球先落地。

　　三、F-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示冲量

　　例4．质点所受的力F随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上。已知t=0时质点的速度为零。在图示t₁、t₂、t₃和t₄各时刻中，哪一时刻质点的动能最大？

　　A．t₁ B．t₂C．t₃ D．t₄

　　解析：物体在F作用下，加速度不断变化，用一般函数解析法无法求解速度随时间的变化情况。但在F-t图象中，图线与坐标轴围成的“面积”表示冲量，且F轴正方向的面积代表正方向的冲量，F轴负方向的面积代表负方向的冲量。初态速度为0，由动量定理Ft=mv₂- mv₁可知，t₂时刻图线与坐标轴围成的正向面积最大，速度最大，相应有最大动能。