§6.5空间几何体及投影

§6.5空间几何体及投影

 

一、知识导学

 

1.     了解投影（投影线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法）、中心投影（投射线交于一点的投影称为中心投影）、平行投影（投影线互相平行的投影称为平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正对着投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正对着投影面的投影）的概念.

2.     了解三视图的有关概念（视图是指将物体按正投影向投影面投　射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图）;了解三视图画法规则，能作出物体的三视图.

3.     注意投影和射影的关系，以及在解题中的作用.

 

二、疑难知识导析

 

1．三视图间基本投影关系的三条规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正，高平齐，宽相等”；看不见的画虚线.

2．主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]如图，该物体的俯视图是（　）.

错解：B.

错因：投影方向不对.

正解：C.

[例2] 如图所示的正方体中，E、F分别是AA₁,D₁C₁的中点，G是正方形BDB₁D₁的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（ ）

A                B              C               D

错解：C.

正解：D

 [例3]水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A₁B₁C₁，则△ABC是（   ）

A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　　C. 钝角三角形   　D. 任意三角形

错解：B.

错因：不熟悉斜二侧画法的规则.

正解:C.

[例4] 正方体的全面积是a²，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（  ）.

A.         B.         C.             D.

错解：A.

错因：对正方体和球的关系理解不清.

正解:B.正方体的对角线就是球的直径.

[例5]（06年江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S₁，S₂，则必有（   ）

A.S₁<S₂B.S₁>S₂C.S₁=S₂D.S₁，S₂的大小关系不能确定

解：连OA、OB、OC、OD

则V_A－BEFD＝V_O－ABD＋V_O－ABE＋V_O－BEFD

V_A－EFC＝V_O－ADC＋V_O－AEC＋V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S_ABD＋S_ABE＋S_BEFD＝S_ADC＋S_AEC＋S_EFC又面AEF公共，故选C

 [例6]正三棱台A₁B₁C_1-ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值.

解：解法一　　如图，设O₁，O为上下底面正三角形的中心，连接O₁O，A₁O₁交A₁B₁于D₁，AO交AB于D.连接D₁D.易证A₁O₁⊥B₁C₁，AD⊥BC，D₁D⊥BC，过A₁，D₁分别作A₁E⊥底面ABC，D₁F⊥底面ABC，易证E、F在AD上.

因为正三棱台A₁B₁C_1-ABC的侧面与底面成45°的二面角，所以∠D₁DA=45°.因此A₁E=O₁O=D₁F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则AD=b,A₁D₁=a.

所以  A₁E=O₁O=D₁F=FD=b-= (b-a).

AE=(b-a).

所以  tan∠A₁AE=.

解法二　如图，延长AA₁，BB₁，CC₁，则AA₁，BB₁，CC₁相交于一点S.显然点S在DD₁的延长线上.由解法一得知，∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.

所以  在RtΔSOD中，SO=OD，

因为  AO=2·OD，所以  tan∠SAO=.

点评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.

 [例7] 粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算：

（1）这个下料斗的体积；

（2）制造这样一个下料斗所需铁板的面积（保留两个有效数字）？

 

分析：要求下料斗所需铁板的面积，就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是S_侧＝（c＋c＇）h＇.

解：（1）因为S_上＝440²mm²，S_下＝80² mm²，h＝200 mm

       

（2）下底面周长c＇＝4×80＝320mm，

      下底面周长c＝4×440＝1760mm，

      斜高h＇＝

      S_正棱台侧＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×10⁵（mm²）

答：这个下料斗的体积约为1.6×10⁷mm³，制造这样一个下料斗需铁板约2.8×10⁵mm².

点评：对于实际问题，须分清是求几何体的表面积，还是求侧面积，还是求侧面积与一个底面面积的和，还是求体积.

 

四、典型习题导练

 

1．一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为（　）

A．长方形、圆、矩形             B．矩形、长方形、圆

C．圆、长方形、矩形             D．长方形、矩形、圆

2．直角三角形绕它最长边（即斜边）旋转一周得到的几何体为（　）

3.下列平面图中不能围成立方体的是（　）.

4．从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成_____个三角形．

5. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.