5.4不等式的应用

5.4不等式的应用

 

一、基础知识导学

 

1.利用均值不等式求最值：如果a₁，a₂∈R⁺，那么_.

2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.

3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.

 

二、疑难知识导析

 

不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：

1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.

2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”

为模型的新的形式.

 

三　经典例题导讲

 

[例1]求y=的最小值.

错解： y=＝2

y的最小值为2.

错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.

正解：令t=,则t,于是y=

由于当t时，y=是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.

[例2]m为何值时，方程x²+(2m+1)x+m²－3=0有两个正根.

错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.

错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.

正解：由题意：

因此当时，原方程有两个正根.

[例3]若正数x，y满足，求xy的最大值．

解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以

当且仅当6x=5y时，取“=”号．

因，则，即，所以的最大值为.

[例4] 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y²的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．

解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则

y=abc，2ab+2bc+2ac=S．

而

y²=（abc）²=（ab）（bc）（ac）

当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y²有最小值

答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.

说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.

 

四、典型习题导练

 

1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³,深为3m，如果池底每1m²的造价为150元，池壁每1m²的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

3.在四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值．

4. 设函数f(x)=ax²+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相

交，试证明对一切R都有.

5．青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？

6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？

 

5.5  推理与证明

 

一、基础知识导学

 

1.     推理一般包括合情推理和演绎推理.

2.     合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.

3.     归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.

4.     归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.

5.     类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.

6.     类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.

7.     演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.

8.     直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.

9.     分析法：从原因推导到结果的思维方法.                                                                           

10.  综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法. 

11.  反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.

12.  应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.

13.  数学归纳法：设｛p_n｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p₁成立；⑵在假设p_k成立的前提上，推出p_k＋1也成立，那么可以断定，｛p_n｝对一切正整数成立.

14.  数学归纳法的步骤：

    （1）证明当 （如 或2等）时，结论正确；

（2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确．

 

二、疑难知识导析

 

1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.

而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.

2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果

3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.

 

三、经典例题导讲

 

[例1] {}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.

(1)写出数列{}的前3项;

(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);

错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.

下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是

=4-2.  (∈N).

①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.

②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有

将=4-2代入上式，得，解得

由题意,有

将代入，化简得

解得.∴

这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.

根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.

错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.　

正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式a_n=4n-2.

猜想数列{}有通项公式=4-2.

下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是

=4-2.  (∈N).

①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.

②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有

将=4-2代入上式，得，解得

由题意,有

将代入，化简得

解得.由∴

这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.

根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.

[例2]　用数学归纳法证明对于任意自然数，

    

错解：证明：假设当（N）时，等式成立，

　　　　　即，

　　　　　那么当时，

　　　　　　









　　　　　这就是说，当时，等式成立．

　　　　可知等式对任意N成立．

错因在于推理不严密，没有证明当的情况．

正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立．

　　　　　（2）假设当（）时，等式成立，

　　　　　即，

　　　　　那么当时，

　　　　　　









　　　　　这就是说，当时，等式成立．

　　　　　由（1）、（2），可知等式对任意N成立．

[例3]　是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

　分析　本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．

解：，

，

，

　　　　……

　　　　猜想， 能被36整除，用数学归纳法证明如下：

　　　　（1）当时，，能被36整除．

　　　　（2）假设当，（N）时，能被36整除．

　　　　那么，当时，

          

          

　　　　由归纳假设，能被36整除，

　　　　当为自然数时，为偶数，则能被36整除．

　　　　∴ 能被36整除，

　　　　这就是说当时命题成立．

　　　　由（1）、（2）对任意，都能被36整除．

　　　　当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．

　[例4] 设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．

　分析 本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．

解：解法一　 与（，）联立，解得

　　直线的方程为，　令，得，所以点

　直线的方程为与联立，消元得（），解得，　所以点（，）．

直线的方程为，

　令，得，所以点　同样可求得点（，0）

　　　　　　……

　　由此推测（，0），即

　　　用数学归纳法证明

　　　（1）当时，由点的坐标为（，0），

　　　　即，所以命题成立．

　　　（2）假设当时命题成立，

　　　　　即，0），则当时，

　　　　　由于直线的方程为，

　　　　　把它与（，）联立，

　　　　　消去可得（），

　　　　　∴

　　　　　于是

　　　　　　即点的坐标为（，）．

　　　　　　∴ 直线的方程为

　　　　　　令得，

　　　　　　即点的坐标为（，0）

　　　　　　∴ 当时，命题成立．

　　解法二　设点，的坐标分别为（，0）、（，0），

　　　　　　建立与的递推关系，即，

　　　　　　由数列是等差数列，且，公差

　　　　　　可求得（），．

用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．

[例5] 有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n²-n＋2个部分．

证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2

又n＝1时，n²-n＋2＝2，∴命题成立

②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k²-k＋2个

部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆

交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k

个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平

面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k²-k＋2＋2k=(k＋1)²-(k＋1)＋2

即n＝k＋1时命题成立．

由①②可知对任何n∈N命题均成立．

说明:  本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．

 [例6] 已知n≥2，n∈N

②假设n=k时，原不等式成立．

由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．

 

四、典型习题导练

 

1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）= (N)”，

当=1时，左边应为____________.

2.已知数列{ }的前n项和，则{}的前四项依次为_______,猜想=__________.

3.已知数列

证明.

4.已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明.

     5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能

力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0.

不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，

这些比例系数依次为正常数a，b，c.

（1）求x_n+1与x_n的关系式；

（2）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？

（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的

最大允许值是多少？证明你的结论.

2011-09-09  人教网

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