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专题：破解数学客观题 客观题活而不难,其特征表现在以下5点: 1.考察思维难度 2.考察数形结合 3.知识再生性问题(突出公式和定理得记忆) 4.计算量大,技巧要求高 5.竞赛思想的题型呈增加趋势 七招破解数学客观题 （一）抓住本质，回归定义。 （二）定性分析，多想少算。 （三）大胆假设估算，快速定夺。 （四）运用特例求解，以点代面。 （五）灵活应对，巧解开放性题。 （六）严防粗心大意，谨防易错警醒题。 （七）沉着冷静，随机应变做好创新题 友情提示：数学基础比较好，分数在125分以上的同学，填空题、选择题共同的时间应控制在45分钟左右，稍长一点也可以，但最好不要超过一小时。如果模拟分数在90分左右的同学，时间应该在一小时左右。 专题：破解数学客观题--填空题 .考点阐释1．填空题诠释 填空题是数学高考的三种基本题型之一 填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等； 填空题是一类古老的题型，近几年来它又重新焕发出新的青春，成为高考中创新型试题与开放型试题的“试验田”。因此，填空题在试卷上新题纷呈，百花齐放，但失分率较高，是高考考生成绩区分的标志，需要各位同学认真应对。 填空题主要有两类：一类是定量的，一类是定性的。填空题大多是定量的，近几年才出现定性型的具有多重选择性的填空题，当然以上二者兼而有之的混合型填空题近年也崭露头角。 填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。 填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型。填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。 填空题的解答要求：①对于计算型填空题要运算到底，结果要规范；②填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件；③填空题所填结论要符合高中数学教材要求。 解答填空题平均每小题3分钟，一般控制在15-18分钟左右。 填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。 2．解答填空题的基本原则是“小题不能大做”，解题的策略是“巧做”。填空题解题策略 传统型填空题： （1）直接求解法 直接求解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得结果。这是解填空题时常用的基本方法； （2）特殊值法 当填空题有暗示，结论唯一或其值为定值时，我们可以取一些特殊值来确定这个“定值”，特别适用于题目的条件是从一般性的角度给出的问题； （3）数形结合法 由于填空题不必写出论证过程，因而可以画出辅助图形进行分析并帮助解答； （4）等价转化法 将所给的命题等价转化为另一种容易理解的语言或容易求解的模式； （5）升华公式法 在解填空题时，常由升华的公式解答，使之起点高、速度快、准确率高； （6）特征分析法 有些问题看似非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征，此问题就能迎刃而解； （7）归纳猜想法 由于填空题不要求推证过程，因此，我们也可用归纳、猜想得出结论； 开放型填空题 （1）多选型填空题 多选型填空题是指：给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论。这类题不论多选还是少选都是不能得分的。因此，要求同学们有扎实的基本功，而举反例是否定一个命题的最有效方法； （2）探索型填空题 探索型填空题是指：从给定的题设中探究其相应的结论，或从题目的要求中探究其必须具备的相应条件； （3）新定义型填空题 即定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题。这样必须紧扣新信息的意义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解； （4）组合型填空题 组合型填空题是指：给出若干个论断要求考生将其重新组合，使其构成符合题意的命题。解题时，要求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握，准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序； 3．填空题减少失分的方法 （1）回顾检验：填空题解答之后再回顾，即再审题，这是最起码的一个环节，可以避免审题上带来的某些明显的错误； （2）赋值检验：若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误； （3）逆代检验：若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错； （4）估算检验：当解题过程中是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误； （5）作图检验：当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观意想的错误； （6）多种检验：一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免单一的方法造成的策略性错误； （7）静态检验：当问题处在运动状态但结果是定值时，可取其特殊的静止状态进行检验，以避免非智力因素引起的心理性错误。 填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考，都有一定数量的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，约占全卷总分的11％。 出题点多在：简单难度的填空题为分段函数求值、导数和定积分的求解以及简单的三角、数列问题；中等难度的填空题为三角、数列、解析几何、立体几何的求值问题；难度较大的填空题为考察合情推理的开放题； @试题精析 题型1：传统解法之直接求解法：直接从题设条件出发，经一系列变形、推理、计算，得出结论。 注意：由于填空题不需要解题过程，因而可以省去某些步骤，大跨度前进，可配合心算、速算，力求快速，避免“小题大做” 例18：（2007年北京某区二模）过抛物线 的焦点 作垂直于 轴的直线，交抛物线于 两点，则以 为圆心 为直径的圆方程是________________ 这道题主要是利用抛物线的定义，直接可以算出圆的半径，从而完成圆的方程。 高考数学主要是考查学生对基本概念、基本公式的应用，也考查学生的一些基本技能和技巧。 例1、满足条件 的集合M的个数为 8 。 例2 （2007年四川）下面有五个命题： 下面有五个命题： ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 . ②终边在y轴上的角的集合是{a|a= |. ③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数 ⑤函数 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 解答：① ，正确；②错误；③ ， 和 在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④． 【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查. 例3（2007年安徽）函数 的图象为C： ① 图象 关于直线 对称; ② ②函数 在区间 内是增函数; ③由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 . 以上三个论断中正确论断的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 解答 C ①图象 关于直线 对称，当k=1时，图象C关于 对称；①正确；②x∈ 时， ∈(－ ， )，∴ 函数 在区间 内是增函数；②正确；③由 的图象向右平移 个单位长度可以得到 ，得不到图象，③错误；∴ 正确的结论有2个，选C. 【点评】 本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换. 例4．在函数 a、b、c成等比数列且 ，则f(x)有最____大___值且该值为___-3____； 解析：因为a、b、c成等比数列，可设b=aq， ，则 ， 例5. 已知向量 ，若 与 垂直，则实数k等于______________； 解析：因为 ， 题型2：传统解法之特值法当，填空题暗示结论唯一或其值为定值时，可取特例求解。 例5（湖北卷）设等比数列 的公比为q，前n项和为S-n，若Sn+1,S-n，Sn+2成等差数列，则q的值为 -2 . 例6．设a>b>1，则 的大小关系是______________； 解析：考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令： ， ； 例7．设 是公比为q的等比数列， 是它的前n项和，若 是等差数列，则q=______________； 解析：因为非零的常数列 是公比为1的等比数列，且前n项和数列{nc}是公差为c的等差数列，可知q=1； 例8．椭圆 的焦点为 ，点P为其上的动点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______________________； 解析：设P(x，y)，则当 时，点P的轨迹为 ，由此可得点P的横坐标 。 又当P在x轴上时， ，点P在y轴上时， 为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是： ； 题型3：传统解法之数形结合法：借助于图形进行直观分析，并辅之以简单计算得出结论。 例9、设x，y满足约束条件： ，则z＝3x＋2y的最大值是＿＿5＿＿。 例10．若函数 上为增函数，则实数a、b的取值范围是___________________； 解析：由已知可画出下图，符合题设，故a>0且 。 题型4：传统解法之等价转化法 例10．二次函数 的部分对应值如下表，则不等式 的解集是_______________； 解析：由已知， 可转化为y=a（x+2）（x－3）； 题型5：传统解法之特征分析法 例11．已知函数 ，那么 =______________。 解析：本题特征是： ，故原式 。 题型6：传统解法之归纳猜想法 例12. 设 是首项为1的正项数列，且 （n=1，2，3，……），则它的通项公式是 ________________。 解析：因为 ，所以 ，而 ，则 。 ， 。 例13 方程 ____________。（结果精确到0.1） 解析：由已知， 。而 ，又结果需要精确到0.1，所以当x=2.6时， ，故填 。 题型7：开放型填空题之多选型填空题 例14．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”。 是公比为q的无穷等比数列，下列“基量”为_________组； （1） ；（2） ；（3） ；（4）q与 （n为大于1的整数， 为 的前n项和） 解析：因 与q确定，则唯一确定一个数列，对（1） 确定，即 确定，即 ；对（2）当 时，有 ，q=2这两个数列；对（3）当n为奇数， 时， 相等；对（4）q确定， 是唯一的。故填（1）（4）。 题型8：开放型填空题之探索型填空题 例15．若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为________cm。 解析：当大长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、6cm时，其对角线长为 cm。 当大长方体的长、宽、高分别为5cm、8cm、3cm时，其对角线长为 cm。 当大长方体的长、宽、高分别为10cm、4cm、3cm时，其对角线长为 cm。 综上，大长方体的对角线最大为 cm。 题型9：开放型填空题之新定义型填空题 例16．定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 是等和数列且 ，公和为5，那么 的值为_______，且这个数列前21项和 的值为_____________。 解：由定义及已知，该数列为{2，3，2，3，……}，所以 。 题型10：开放型填空题之组合型填空题 例17． 是两个不同的平面，m、n是平面 之外的两条不同直线，给出四个论断：（1） ，（2） ，（3） ，（4） 。以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题________ _； 解析：通过线面关系，不难得出正确的命题有： 题型11：填空题检验方法 回顾检验 由于考试时时间紧张，有些学生做题只顾速度快，不注意题目的条件，错看漏看条件从而导致解题错误。避免这样的错误要求同学们平时解题时养成良好的审题习惯和解题后再回顾审视题目反思的习惯。 若题目求的是方程的解、参数值等有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致误。 例1（2006辽宁高考题）方程 的解为 ． 错解：由条件得（x—1）（x+1）=4，解得： 检验：把 代入原方程检验知x= 时对数没有意义，舍去。故原方程的解是： 例18．满足条件 且 的角 的集合 _____ ___。 错解： 或 。 检验：根据题意，答案中的 不满足条件 ，应改为 ；其次角 的取值要用集合表示。故正确答案为{ }； （1） 赋值检验 若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误。 例2（2004全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 1, n=1, an= ,n≥2. 错解：由an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2) 与 -----①得 故 得 ！ 检验：当n=2时a2=a1=1知解法有误，实际上①式仅对于 成立。从而 ，得 ！（ ）。所以正确的答案是： ！（ ）。 例3（06江苏高考题）对正整数n，设曲线 在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前n项和的公式是 正确解答： ，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n 切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn= .数列 的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2 检验：可取n=1，2时的值验证之。
例19．已知数列{ }的前 项和为 ，则通项公式 =_________； 错解： 检验：取 时，由条件得 ，但由结论得 。故正确答案为 （3）估算检验 例20．不等式 的解是___ _______； 错解：两边平方得 ，即 ， 解得 ； 检验：先求定义域得 。若 ，则 ，原不等式成立；若 时， ，原不等式不成立。故正确答案为 。 （2） 作图检验 当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些主观意想的错误。 例4．求过点P（3，2），且与圆 相切的直线方程。 误解：设所求切线方程为 ，即 则圆心（4，1）到此切线的距离等于半径1，所以 ， 故所求的切线方程为y=2 检验：作出图形可以看出过一点作圆的切线应该是两条。为什么上面的解法只求出一条？原因是另一条是x=3，其斜率不存在。上面做法先设直线的斜率存在，第一步就把直线x=3排除了。正确的答案是：y=2 或x=3 .
例21．函数 的递增区间是___________； 错解：（ ） 检验： 作图可知正确答案为 与 。 （3） 多种检验 一种方法解答之后，再用其他方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误。 例6、从8名男医生和7名女医生中，选出4名医生组成医疗队。其中至少有一名男医生和一名女医生，共有多少种不同的选法？ 错解：先选出1男1女，再从剩下的13人中选出2人（男女不限），选法共有： （种） 检验：法1，按男队员（或女队员）人数分为三类：一男三女，二男二女，三男一女，选法数共有： 法2，15名医生中选4名有 种选法，其中全由男医生或女医生组成的不合要求，合要求的选法总数为： 从1，2知答案是：1260 。实际上错解表面上看没有问题，仔细一想有大量重复。如A、B、C与女a组成医疗队，选A、a，再选B、C；先选B、a，再选A、C；选C、a，再选A、B，都组成同一医疗队，此种解法含有很多重复。这种分步的标准是不对的。 例22．若 ，则 的最小值是_________。 错解： ， 检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到。换一种解法为： ， 的最小值为16。 （6）极端检验 当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误。 例5、已知关于x的不等式的解集是空集，求实数a的取值范围 ----________________. 错解：由 ，解得-2< P > 检验：若a=-2，则原不等式为-1≥0，解集是空集，满足题意；若a= ，则原不等式为 ，即 ，解得x= ，不满足题意。 故正确答案为-2≤a< . （7）静态检验 例23．在正方体 中，M、N分别为棱 的中点，P为棱 上的任意一点，则直线AM与PN所成的角等于________ ； 错解：乱填一个角。 检验：设点P与点 重合，则容易证明 ，即AM与PN所成角等于 。由题意知所求角是个定值，故正确答案为 。 &答题指津 一思维总结 1．在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和解答题严重。我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法； 解答选择、填空题的基本策略是准确、迅速。但填空题要保持填写结果形式和结果正确，不像解答题能分步得分，稍有不慎就前功尽弃，为此要加强平时的积累和总结。 2．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。 二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。 填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等； 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整。合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求。 二方法总结 1. 能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。 2．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。 3. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. M08模拟 1．已知函数 ，那么 + 。 2．若关于x的方程 有两个不等实根，则实数k的取值范围是 。
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a，b，c成等差 数列，则 。 4. （2007·宁夏/海南）设函数 为奇函数，则 . 6．（2007·江西）如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 、 于不同的两点 ， 若 ，则 的值为 . 8．若函数 的图象关于直线 对称，则 9． 的展开式中 的系数是 10．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）． 11. 如果随机变量ξ～N ( ),且P（ ）=0.4，则P（ ）= 12. 已知集合为 ，它的所有的三个元素的子集的和是 ，则 ＝ 。 13. 椭圆 的焦点为 ，点P为其上的动点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______________________； 14. 若函数 上为增函数，则实数a、b的取值范围是___________________；
15. 已知 是公差不为零的等差数列，如果 是 的前n项和，那么 16. 如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆
17. 有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式 ，其运算为： ，若计算机进行运算： ，那么使此表达式有意义的 的范围为 _____________ ． ． 18. 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)．
答案 1．已知函数 ，那么 + 。 提示：计算之前，应认真观察数式结构特征，因为结构决定了解题的方向。 我们从整体考虑： （定值），于是 ， ， ，又 ， 故原式= 。 2．若关于x的方程 有两个不等实根，则实数k的取值范围是 。 提示：明确范围，画图分析。 （运用运动变化的观点研究数学问题） 易得： 3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a，b，c成等差 数列，则 。 提示：由题设可取a=b=c即三角形ABC为等边三角形，则 原式= 。 （也可以取a=3，b=4，c=5） 4. （2007·宁夏/海南）设函数 为奇函数，则 . 提示：由于 是奇函数，则 ， 。 5． 的值为 。
6．（2007·江西）如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 、 于不同的两点 ， 若 ，则 的值为 .
7．已知函数 ，则 提示： 由 ，得 ，应填4. 请思考为什么不必求 呢？ 8．若函数 的图象关于直线 对称，则 提示:由已知抛物线的对称轴为 ,得a＝0，而 ，有b＝2，故应填2. 9． 的展开式中 的系数是 讲解 由 知，所求系数应为 的x项的系数与 项的系数的和，即有 故应填1008. 10．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）． 讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , , ，故应填. 、 、 中的一个即可. 11. 如果随机变量ξ～N ( ),且P（ ）=0.4，则P（ ）= 解析：如果随机变量ξ～N ( ),且P（ ）=0.4， P（ ）= ， ∴ ， ∴P（ ）= 。 12. 已知集合为 ，它的所有的三个元素的子集的和是 ，则 ＝ 。 解析：因为包含了 任意一个元素 的三元素集合共 个，所以在 中，每个元素都出现了 次，所以 ，所以 。 13. 椭圆 的焦点为 ，点P为其上的动点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______________________； 解析：设P(x，y)，则当 时，点P的轨迹为 ，由此可得点P的横坐标 。 又当P在x轴上时， ，点P在y轴上时， 为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是： ； 14. 若函数 上为增函数，则实数a、b的取值范围是___________________； 解析：由已知可画出下图，符合题设，故a>0且 。 题型4：传统解法之等价转化法 15. 已知 是公差不为零的等差数列，如果 是 的前n项和，那么 解析： 特别取 ，有 ，于是有
16. 如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是________． 解析：因为正方形的面积是16，内切圆的面积是 ，所以豆子落入圆内的概率是 ． 17. 有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式 ，其运算为： ，若计算机进行运算： ，那么使此表达式有意义的 的范围为 _____________ ． 解析：计算机进行运算： 时，它表示的表达式是 ，当其有意义时，得 ，解得 ． 18. 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)． 解析：由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，于是 0.50μ0＝μ0(e－λ)t ()t， 两边取常用对数，lg，解出t＝＝13.1． |
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