【原】典型习题：(010108)“数学归纳法”思想解题举例——不等式证明

练习题

例：设，而且．证明：

等号当且仅当时成立．

视频解析

相关小结

一般，用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题，有如下步骤：

(1) 归纳奠基：证明当取第一个值时命题成立。对于一般数列取值为或，但也有特殊情况；

(2) 归纳假设：假设当（，为自然数）时命题成立；

(3) 归纳递推：由归纳假设推出时命题也成立．

综合以上步骤，得出对一切自然数（），命题都成立的结论。

例：设，而且．证明：

等号当且仅当时成立．

推论（算术-几何平均值不等式）：

若皆为非负数，则有

【注】 一般来说，发现一个数学问题的结论比证明该问题的结论要难度大得多。因为，当我们尚不知道该数学问题的相关结论是否存在时，动手去求解这个问题是一件没多大把握的事情。相反地，去证明该问题已知的结论，心里就要踏实多了，而且往往问题的结论会为我们证明它提供一些有用的信息。从这个意义上讲，归纳法拓宽了我们解题的途径。