2011年高考分类汇编之解析几何（四）

2011年高考分类汇编之解析几何（四）

广东文

 

8．设圆C与圆x²+（y-3）²=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为

       A．抛物线                B．双曲线               C．椭圆                  D．圆

D

21．（本小题满分14分）

       在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l₁与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。

21．（本小题满分14分）

       解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

      

       因此即                            ①

       另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

       MQ为线段OP的垂直平分线，

       又

       因此M在轴上，此时，记M的坐标为

       为分析的变化范围，设为上任意点

       由（即）得，

       故的轨迹方程为                                              ②

       综合①和②得，点M轨迹E的方程为

（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E₁和E₂两部分组成（见图3）：

       ；

      

       当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E₁于。

       再过H作垂直于的直线，交

       因此，（抛物线的性质）。

       （该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。

       当时，则

       综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为

   （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。

       设

       故的方程得：

       因判别式

       所以与E中的E₁有且仅有两个不同的交点。

       又由E₂和的方程可知，若与E₂有交点，

       则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。

       因此，直线的取值范围是

 

湖北理

 

4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为，则

A.           B.      C.       D.

【答案】C

解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为和，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为，，所以选C.

14.如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，.

（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为           ；

（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是           .

【答案】,

解析：（Ⅰ）设点在平面内的射影的坐标为，

则点的纵坐标和纵坐标相同，

所以，过点作，垂足为，

连结，则，横坐标

，

所以点在平面内的射影的坐标为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以代入曲线的方程，得，

所以射影的方程填.

 

20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）

    解：（I）设动点为M，其坐标为，

    当时，由条件可得

即，又的坐标满足

故依题意，曲线C的方程为

当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；

当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；

当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；

当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。

（II）由（I）知，当m=-1时，C₁的方程为

当时，C₂的两个焦点分别为

对于给定的，C₁上存在点使得的

充要条件是

②

①

         由①得由②得

当或时，存在点N，使S=|m|a²；

当或时，不存在满足条件的点N，

当时，

由，

可得令，

则由，

从而，

于是由，可得

综上可得：

当时，在C₁上，存在点N，使得

当时，在C₁上，存在点N，使得

当时，在C₁上，不存在满足条件的点N。