九上尖子生培优试题系列汇总（至系列30）

---

---

---

（答案在相应的“适合三个年级上学期的尖子生培优系列”文章中）

系列（1）：

试探讨关于x的方程（k－1）x² kx 1=0的根的情况。（试题来源于网络）

系列（2）：

若a，b，c分别为△ABC的三条边，且满足a² b²=c²=25，求2a b的最大值.

系列（3）：

若k为任意实数，则抛物线y=a(x－2k 1)² k－2的顶点一定在什么样的图象上运动？

系列（4）：

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的一个交点A在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两点)，顶点 C是矩形DEFG内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是_____.

系列（5）：

若对称轴与y轴平行的抛物线经过(2，5)、(4，5)和（1，－1）三点，求该抛物线的解析式。

系列（6）：

有：当1＜x＜2时，y＜0，当5＜x＜6时，y＞0，求a:b的值.

系列（7）：

已知a≥2，m²－2am 2=0，n²－2an 2=0，求(m－1)² (n－1)²的最小值.（试题来源于网络）

系列（11）：

若关于x的方程ax²－3x－1=0的两不相等实数根均大于－1且小于0，求a的取值范围.

系列（12）：

已知抛物线y=ax² bx c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中A(1，0)，C(0，－3)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）；

    ①当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；

②当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．

系列（13）：

如图所示，二次函数y=ax² bx c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，1/2）是二次函数y=ax² bx c图象上一点，且AQ⊥BQ，求a的值.

系列（14）：

已知抛物线y=x²﹣2ax a²﹣2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．

（1）求A、P点的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值；

（3）若直线y=x a﹣2与该抛物线交于B、C两点，M点是线段BC的中点．当a的值在某范围内变化时，M点的运动轨迹是一条直线的一部分，请求出该直线的解析式，并写出自变量的取值范围．

系列（15）：

如图是抛物线y=ax² bx c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：

①c﹣a=n；

②抛物线与x轴的另一个交点为（m，0），则﹣2＜m＜﹣1；

③当x＜0时，ax² （b 2）x＜0；

④一元二次方程ax² （b﹣1/2）x c=0有两个不相等的实数根．

其中正确结论的个数是（　）

系列（16）：

定义感知：我们把具有对称轴和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线y=﹣3（x﹣2）² 3与y=﹣1/3(x﹣2)²﹣1的对称轴都是直线x=2，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．

初步运用：

（1）若抛物线y=3x² mx﹣3与y=1/2x²﹣3x 5是“同向共轴抛物线”，则m=；

（2）若抛物线y=a₁x² b₁x c₁与y=a₂x² b₂x c₂是“同向共轴抛物线”，则下列结论正确的是　　．（只须填上正确结论的顺序号即可）

---

---

系列（17）：

如图，已知二次函数L₁：y=ax²﹣2ax a 3（a＞0）和二次函数L₂：y=﹣a（x 1）² 1（a＞0）的图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

（1）函数y=ax²﹣2ax a 3（a＞0）的最小值为　　，当二次函数L₁，L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是　　．

（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．

（3）若二次函数L₂的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x 1）² 1=0的解．

系列（18）：

如图1，对于平面内小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．

（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）=，d（∠xOy，B）=．

（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，在图2中画出点P运动所形成的图形．

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣1/2x² mx n经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A、D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A、D两点重合），求当d（∠xOD，Q）取最大值时点Q的坐标．

系列（19）：

已知二次函数y=1/2(x－h)²，当且仅当2＜x＜m时，y<x，求h及m的值.

系列（30）：

已知：正方形ABCD，等腰直角三角形BEF，AD、BE交于点M，CD、BF交于点N，将△BEF绕点B旋转.

（1）如图1，若点M、N分别在AD，CD上（不与点A，D，C重合）时，写出线段AM、MN、NC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；

（2）如图2，若点M，N分别在AD，DC的延长线上时，判断（1）中的结论是否成立？若不成立，写出相应的结论并证明；

（3）若点M、N分别在AD、DC的反向延长线上时，请完成图3并判断（1）中的结论是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论不必证明）.

---

---